Adobe PDF (12.22 MB)
HTML έκδοσηZIP (8.77 MB)
Download
Title Details:
Geometry of Manifolds
Other Titles: Riemannian Manifolds and Lie Groups
Authors: Arvanitogeorgos, Andreas
Reviewer: Platis, Ioannis
Subject: MATHEMATICS AND COMPUTER SCIENCE > MATHEMATICS > DIFFERENTIAL GEOMETRY > GLOBAL DIFFERENTIAL GEOMETRY
MATHEMATICS AND COMPUTER SCIENCE > MATHEMATICS > TOPOLOGICAL GROUPS, LIE GROUPS > LIE GROUPS
MATHEMATICS AND COMPUTER SCIENCE > MATHEMATICS > DIFFERENTIAL GEOMETRY > APPLICATIONS TO PHYSICS
Keywords:
Differential (smooth) Manifold
Tensor
Riemannian Manifold
Lie Group
Homogeneous Space
Klein Geometry
Description:
Abstract:
Το παρόν βιβλίο απευθύνεται σε κάπως προχωρημένους προπτυχιακούς φοιτητές μαθηματικών και φυσικής καθώς και σε αντίστοιχους μεταπτυχιακούς φοιτητές.
Το βασικό θέμα επεξεργασίας είναι η θεωρία διαφορικών πολλαπλοτήτων και πολλαπλοτήτων Riemann.
Θα γίνεται προσπάθεια ώστε οι έννοιες να παρουσιάζονται με απλό τρόπο και με χρήση παραδειγμάτων χρήσιμων στους μαθηματικούς και στους φυσικούς.
Αρχικά θα παρουσιάζονται κάποιες βασικές έννοιες (εφαπτόμενο διάνυσμα, διανυσματικό πεδίο, διαφορική μορφή) στον Ευκλείδειο χώρο R^n, υπό μία οπτική ώστε να είναι εύκολη και φυσιολογική η γενίκευσή τους στις πολλαπλότητες που θα ακολουθήσουν. Θα αναπτύσσεται στη συνέχεια η θεωρία διαφορικών (λείων) πολλαπλοτήτων και πριν τις πολλαπλότητες Riemann θα γίνει μια αναφορά στους τανυστές (κ,λ)-τάξης.
Στη συνέχεια, θα παρουσιαστούν βασικά σημεία της θεωρίας των ομάδων Lie και θα γίνει αμέσως εφαρμογή στη γεωμετρια των ομάδων Lie (αριστερά αναλλοίωτες μετρικές, καμπυλότητα κλπ). Τέλος, ως φυσικό επακόλουθο, θα παρουσιαστούν κάποια στοιχεία της θεωρίας των ομογενών χώρων (γεωμετρία κατά Klein), δηλαδή μιας πολλαπλότητας της μορφής Μ = G/K, όπου G μια ομάδα Lie και Κ μια κλειστή υποομάδα Lie αυτής.
Table of Contents:
Πρόλογος

Εισαγωγή

1 Ο Ευκλείδειος Χώρος
Λείες συναρτήσεις σε Ευκλείδειο χώρο
Εφαπτόμενα διανύσματα στον R^n ως παραγωγίσεις
Σπόροι συναρτήσεων
Παραγωγίσεις κατά σημείο
Διανυσματικά πεδία στον R^n
Η εξωτερική άλγεβρα των πολυγραμμικών συναρτήσεων
Πολυγραμμικές συναρτήσεις
Διαφορικές μορφές στον R^n

2 Λείες πολλαπλότητες
Λείες πολλαπλότητες
Ο πραγματικός προβολικός χώρος
Λείες απεικονίσεις στον R^n
Το θεώρημα αντίστροφης συνάρτησης

3 Το διαφορικό μιας λείας απεικόνισης
Ο εφαπτόμενος χώρος
Το διαφορικό
Εμβαπτίσεις και εμφυτεύσεις
ϒποπολλαπλότητες

4 Διανυσματικά πεδία
Η εφαπτόμενη δέσμη
Διανυσματικές δέσμες
Λείες συναρτήσεις εξογκώματος
Διαμέριση της μονάδας
Λεία διανυσματικά πεδία
Ολοκληρωτικές καμπύλες
Τοπική ροή
Το γινόμενο Lie

5 Πολλαπλότητες Riemann
Τανυστικά πεδία
Μετρικές Riemann
Η συνοχή Levi-Civita
Η συναλλοίωτη παράγωγος
Γεωδαισιακές
Η εκθετική απεικόνιση

6 Καμπυλότητα
Ο ορισμός του Riemann
Ο τανυστής καμπυλότητας
Η καμπυλότητα τομής
Η καμπυλότητα Ricci και η βαθμωτή καμπυλότητα
Ομοιοθεσίες και ισομετρίες

7 Ομάδες Lie
Ορισμός και παραδείγματα
Ο Εφαπτόμενος χώρος μιας ομάδας Lie
Η άλγεβρα Lie μιας ομάδας Lie
Η σχέση μεταξύ ομάδων Lie και αλγεβρών Lie
Μονοπαραμετρικές υποομάδες και η εκθετικη απεικόνιση

8 Η δομή μιας ομάδας Lie
Ο τύπος των Campbell-Baker-Hausdorff
Στοιχεία θεωρίας αναπαραστάσεων
Η συζυγής αναπαράσταση
Η συνήθης αναπαράσταση
Η μορφή Killing
Μεγιστικοί δακτύλιοι
Η ταξινόμηση των συμπαγών και συνεκτικών ομάδων Lie

9 Η γεωμετρία μιας ομάδας Lie
Αριστερά αναλλοίωτες μετρικές
Αριστερά αναλλοίωτες μετρικές στην SU(2)

10 Ομογενείς χώροι - Γεωμετρία κατά Klein
Δράσεις ομάδων
Πολλαπλότητες πηλίκο
Αναγωγικοί ομογενείς χώροι
Η ισοτροπική αναπαράσταση
G-αναλλοίωτες μετρικές και η συνοχή Levi-Civita
Καμπυλότητα
Linguistic Editors: Gyftopoulou, Ourania
Type: Undergraduate textbook
Creation Date: 2015
Item Details:
ISBN 978-960-603-017-8
License: http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/3.0/gr
Handle http://hdl.handle.net/11419/146
Bibliographic Citation: Arvanitogeorgos, A. (2015). Geometry of Manifolds [Undergraduate textbook]. Kallipos, Open Academic Editions. http://hdl.handle.net/11419/146
Language: Greek
Consists of: 1. The Euclidean space
2. Smooth manifolds
3. Riemannian manifolds
4. Lie groups
5. Homogeneous spaces - Klein's view of geometry
6. The differential of a smooth map
7. Vector fields
8. Curvature
9. The structure of a Lie group
10. The geometry of a Lie group
Publication Origin: Kallipos, Open Academic Editions
Brochure Download