Geometry of Manifolds

Abstract

Το παρόν βιβλίο απευθύνεται σε κάπως προχωρημένους προπτυχιακούς φοιτητές μαθηματικών και φυσικής, καθώς και σε αντίστοιχους μεταπτυχιακούς φοιτητές. Το βασικό θέμα επεξεργασίας είναι η θεωρία διαφορικών πολλαπλοτήτων και πολλαπλοτήτων Riemann. Γίνεται προσπάθεια ώστε οι έννοιες να παρουσιάζονται με απλό τρόπο και με χρήση παραδειγμάτων χρήσιμων στους μαθηματικούς και στους φυσικούς. Αρχικά παρουσιάζονται κάποιες βασικές έννοιες (εφαπτόμενο διάνυσμα, διανυσματικό πεδίο, διαφορική μορφή) στον Ευκλείδειο χώρο R^n, υπό μια οπτική ώστε να είναι εύκολη και φυσιολογική η γενίκευσή τους στις πολλαπλότητες που θα ακολουθήσουν. Αναπτύσσεται, στη συνέχεια, η θεωρία διαφορικών (λείων) πολλαπλοτήτων και πριν τις πολλαπλότητες Riemann γίνεται μια αναφορά στους τανυστές (κ,λ)-τάξης. Κατόπιν, παρουσιάζονται βασικά σημεία της θεωρίας των ομάδων Lie και γίνεται, αμέσως, εφαρμογή στη γεωμετρία των ομάδων Lie (αριστερά αναλλοίωτες μετρικές, καμπυλότητα κλπ.). Τέλος, ως φυσικό επακόλουθο, παρουσιάζονται κάποια στοιχεία της θεωρίας των ομογενών χώρων (γεωμετρία κατά Klein), δηλαδή μιας πολλαπλότητας της μορφής Μ = G/K, όπου G μια ομάδα Lie και Κ μια κλειστή υποομάδα Lie αυτής.

This book is intended for somewhat advanced undergraduate students of mathematics and physics, as well as for corresponding graduate students. The main topic is the theory of differential manifolds and Riemann manifolds. An effort has been made to present the concepts in a simple way and using examples that are useful to mathematicians and physicists. First, some basic concepts (tangent vector, vector field, differential form) are presented in Euclidean space R^n, in a way that makes it easy and natural to generalize them to the manifolds that follow. The theory of differential (smooth) manifolds is then developed, and before Riemannian manifolds, a reference is made to (k,l)-order tensors. Next, we present the basic points of Lie group theory and immediately apply them to Lie group geometry (left-invariante metrics, curvature, etc.). Finally, as a natural consequence, some elements of the theory of homogeneous spaces (Klein geometry) are presented, i.e., a manifold of the form M = G/K, where G is a Lie group and K is a closed Lie subgroup of G.