Number Theory and Applications

Abstract

This book is an introduction to number theory. Emphasis has been given to the historical development of the ideas and to applications. The book covers the teaching needs of all Mathematics departments in Greece. Until the ninth chapter only elementary tools are needed. <br/>Last chapter requires some knowledge of algebra and Galois theory. <br/><br/>Number theory for centuries was considered as part of "pure mathematics". The last 35 years many applications of number theory to cryptography and coding theory were discovered, and some of these applications are explained. <br/><br/>The book is divided into two parts. The first part is devoted to the arithmetic of natural numbers and the second part to the arithmetic of irrational quantities.

Το βιβλίο αποτελεί μία εισαγωγή στην Θεωρία Αριθμών. Ιδιαίτερη έμφαση έχει δοθεί στην ιστορική εξέλιξη των ιδεών καθώς και στις εφαρμογές. Υπερκαλύπτει τις ανάγκες διδασκαλίας του αντίστοιχου μαθήματος σε ΟΛΑ τα Τμήματα Μαθηματικών της Χώρας. Η φιλοσοφία του είναι ότι, μέχρι σχεδόν το τέλος του 9ου Κεφαλαίου, να μην γίνει χρήση άλλων πιο προχωρημένων μαθημάτων, όπως Άλγεβρας κ.λ.π. αλλά η Άλγεβρα να στηριχθεί στη γνώση της βασικής Αριθμοθεωρίας. Αυτό γίνεται και για έναν επιπλέον λόγο. Η Άλγεβρα στο Τμήμα Μαθηματικών του Πανεπιστημίου Κρήτης, όπου υπηρετώ, διδάσκεται ουσιαστικά στο 6ο εξάμηνο και είναι πολύ αργά για να ακολουθήσει στοιχειώδες μάθημα Θεωρίας Αριθμών.<br/>Η Θεωρία των Αριθμών ανήκε για αιώνες στους κλάδους των, λεγόμενων Θεωρητικών Μαθηματικών. Όμως τα τελευταία 35 χρόνια έχει βρει πολύ ενδιαφέρουσες εφαρμογές στην Κρυπτογραφία και την Κωδικοποίηση. Δεν είναι υπερβολή να πούμε ότι όλα τα συστήματα ασφαλείας σήμερα των Τραπεζών και όχι μόνο στηρίζονται σε μεθόδους και τεχνικές της Θεωρίας Αριθμών. Έτσι δεν είναι δυνατόν να διδάσκεται σήμερα χωρίς την παραμικρή αναφορά στις εφαρμογές της, όπως διδασκόταν πριν από 50 ή και 100 χρόνια. Ο φοιτητής οφείλει να γνωρίζει σε βάθος τις "ριζες" της Θεωρίας, την ιστορία της, αλλά πρέπει να "γεύεται" και τους καρπούς της που είναι οι εφαρμογές της.<br/>Το βιβλίο χωρίζεται σε δύο μέρη. <br/>Το πρώτο μέρος αφορά στην Αριθμητική των Ρητών Αριθμών. Χωρίζεται σε πέντε Κεφάλαια. <br/>Το δεύτερο μέρος αφορά στην Aριθμητική των Aρρήτων ποσοτήτων δευτέρου βαθμού, (τετραγωνικών ριζών.)<br/>Αποτελείται από πέντε Κεφάλαια. Μέχρι και το ένατο Κεφάλαιο δεν χρειάζονται έξτρα γνώσεις. Το δέκατο Κεφάλαιο<br/>προαπαιτεί έλάχιστα στοιχεία Θεωρίας Galois, τα οποία θα παρουσιαστούν εν συντομία στο τέλος του βιβλίου.<br/>Το Κεφάλαιο αυτό αποτελεί την "γέφυρα " εισαγωγής στην Αλγεβρική Θεωρία Αριθμών.