Ασκήσεις βασικής άλγεβρας

Abstract

Το βιβλίο απευθύνεται σε προπτυχιακούς φοιτητές ελληνικών Πανεπιστημίων οι οποίοι διδάσκονται ένα βασικό μάθημα Άλγεβρας. Το βιβλίο είναι συνοδευτικό ενός τυπικού συγγράμματος Βασικής Άλγεβρας προπτυχιακού επιπέδου και σκοπός του είναι να βοηθήσει τον αναγνώστη, μέσω αναλυτικής επίλυσης ασκήσεων διάφορων επιπέδων δυσκολίας, θεματικής και περιεχομένου, να κατανοήσει τις θεμελιώδεις αρχές, τις τεχνικές, και μεθόδους της βασικής Άλγεβρας. Το βιβλίο αφορά κυρίως φοιτητές τμημάτων Μαθηματικών (αλλά και παρεμφερών τμημάτων) ελληνικών Πανεπιστημίων. Στο βιβλίο δεν προ-απαιτούνται παρά μόνο στοιχειώδεις γνώσεις από άλλα μαθήματα, οι οποίες αναλύονται συνοπτικά, και έτσι το βιβλίο μπορεί επίσης να αποτελέσει βοήθημα για την κατανόηση των θεμελιωδών αρχών, τεχνικών και μεθόδων της Βασικής Άλγεβρας και από μη εξειδικευμένους αναγνώστες. Επομένως, μπορεί να χρησιμοποιηθεί από διδάσκοντες, φοιτητές, επαγγελματίες της περιοχής (καθηγητές), και γενικά από ενδιαφερόμενους να κατανοήσουν τις βασικές αρχές της θεωρίας ομάδων και δακτυλίων. Το κύριο μέρος του βιβλίου είναι αφιερωμένο στην αναλυτική επίλυση ασκήσεων οι οποίες αφορούν δύο από τις βασικότερες δομές της σύγχρονης Άλγεβρας, της δομής ομάδας και της δομής δακτυλίου, καθώς και των εφαρμογών τους. Το βιβλίο χωρίζεται σε δύο μέρη (θεωρία ομάδων και θεωρία δακτυλίων) και σε 14 Κεφάλαια. Σε κάθε Κεφάλαιο του βιβλίου αναπτύσσεται, χωρίς αποδείξεις, συνοπτική θεωρία, η οποία και χρησιμοποιείται για την επίλυση των ασκήσεων. Στη συνέχεια, επιλύονται αναλυτικά ασκήσεις, σε διάφορα επίπεδα (ασκήσεις κατανόησης, υπολογιστικές ασκήσεις, θεωρητικές ασκήσεις, ασκήσεις οι οποίες επεκτείνουν γνωστά αποτελέσματα, κτλ.), οι οποίες αφορούν την εκτεθείσα συνοπτική θεωρία. Κάποιες από τις ασκήσεις συνοδεύονται από σχόλια, όπου αναδεικνύεται η σχέση τους με άλλες ασκήσεις, με αντίστοιχα θεωρητικά θέματα ή επεκτάσεις αυτών, ή με αναφορές στη βιβλιογραφία. Τέλος, σε κάθε Κεφάλαιο προτείνεται προς λύση σειρά ασκήσεων.

The book is intended for undergraduate students at Greek universities who are taking a basic algebra course. The book accompanies a standard undergraduate-level basic algebra textbook and aims to help readers through the analytical solution of exercises of varying levels of difficulty, subject matter, and content, to understand the fundamental principles, techniques, and methods of basic algebra. The book is mainly intended for students of mathematics (but also related departments) at Greek universities. The book requires only basic knowledge from other courses, which is summarized, so it can also be used as an aid to understanding the fundamental principles, techniques, and methods of basic algebra by non-specialized readers. It can therefore be used by teachers, students, professionals in the field (professors), and anyone interested in understanding the basic principles of group and ring theory. The main part of the book is devoted to the analytical solution of exercises concerning two of the most fundamental structures of modern algebra, the group structure and the ring structure, as well as their applications. The book is divided into two parts (group theory and ring theory) and 14 chapters. Each chapter of the book develops, without proof, a concise theory that is used to solve the exercises. This is followed by detailed solutions to exercises at various levels (comprehension exercises, computational exercises, theoretical exercises, exercises that extend known results, etc.) related to the concise theory presented. Some of the exercises are accompanied by comments highlighting their relationship to other exercises, to corresponding theoretical topics or extensions thereof, or with references to the literature. Finally, at the end of each chapter, a series of exercises is proposed for solution.