Στοιχεία Θεωρίας Κατανομών

Abstract

Σε αυτό το κεφάλαιο δίνονται τα στοιχεία της θεωρίας πιθανοτήτων που είναι απαραίτητα για τη μελέτη που προηγήθηκε. Αρχίζει με τους ορισμούς της πιθανότητας και παρατίθενται οι ιδιότητες που προκύπτουν από αυτούς. Ορίζονται οι έννοιες της δεσμευμένης πιθανότητας, της ανεξαρτησίας των ενδεχομένων και δίδονται τα σχετικά θεωρήματα. Ορίζονται οι τυχαίες μεταβλητές (τ.μ.) και δίδονται οι έννοιες της μέσης τιμής της διασποράς και της ροπογεννήτριας. Δίνονται οι αποδείξεις των ανισοτήτων Markov-Tchebychev και Cauchy-Schwarz και εξηγείται ο ρόλος τους. Παρουσιάζονται οι κυριότερες διακριτές και συνεχείς κατανομές καθώς και οι ιδιότητές τους. Εισάγεται η έννοια της ανεξαρτησίας των τ.μ. και η συμβολή αυτής στον προσδιορισμό της κατανομής αθροισμάτων τ.μ. Επίσης δίνονται συνθήκες που επιτρέπουν τον προσδιορισμό της κατανομής μιας μετασχηματισμένης τ.μ. Τέλος ορίζονται δύο τρόποι σύγκλισης ακολουθιών τ.μ. και παρουσιάζονται ο ασθενής νόμος των μεγάλων αριθμών και το κεντρικό οριακό θεώρημα.

This chapter provides the necessary elements of probability theory required for the preceding study. It begins with the definitions of probability and presents the properties that follow from them. The concepts of conditional probability and independence of events are defined, along with the related theorems. Random variables (r.v.'s) are introduced, and the notions of expectation, variance, and moment-generating functions are given. Proofs of the Markov-Chebyshev and Cauchy-Schwarz inequalities are provided, along with explanations of their roles. The main discrete and continuous distributions and their properties are presented. The concept of independence of random variables is introduced, highlighting its contribution to determining the distribution of sums of random variables. Additionally, conditions allowing the determination of the distribution of a transformed random variable are given. Finally, two modes of convergence of sequences of random variables are defined, and the Weak Law of Large Numbers and the Central Limit Theorem are presented.