Διαστήματα εμπιστοσύνης

Abstract

Στα προηγούμενα κεφάλαια ασχοληθήκαμε με την εκτίμηση μιας παραμετρικής συνάρτησης g(θ) σημειακά, με την έννοια ότι αφού γνωρίζουμε την τιμή του δείγματος μπορούμε να κάνουμε μία εκτίμηση t=Τ(x) της τιμής αυτής της g(θ), όπου T(X) είναι ένας εκτιμητής της παραμετρικής μας συνάρτησης. Επειδή μιλάμε για εκτίμηση, προφανώς, αυτή θα απέχει από την πραγματική τιμή της g(θ), δηλαδή θα έχουμε κάποιο σφάλμα εκτίμησης. Θα θέλαμε λοιπόν να έχουμε κάποια ιδέα για αυτό το σφάλμα εκτίμησης, δίνοντας μάλιστα εμείς την ακρίβεια με την οποία ο εκτιμητής μας θέλουμε να εκτιμά την πραγματική τιμή της g(θ). Με άλλα λόγια επιθυμία μας είναι να βρούμε ένα τυχαίο διάστημα, δηλαδή τα άκρα του να είναι συναρτήσεις του δείγματος, το οποίο να καλύπτει με την ακρίβεια που θέλουμε την πραγματική τιμή της άγνωστης παραμετρικής συνάρτησης g(θ).

In the previous chapters, we focused on the point estimation of a parametric function g(θ), meaning that once we know the sample value, we can provide an estimate t = T(x) of the value of g(θ), where T(X) is an estimator of our parametric function. Since we are dealing with estimation, it is clear that this estimate will deviate from the true value of g(θ), resulting in some estimation error. Therefore, we would like to have some idea about this estimation error, and even specify the level of accuracy with which we want our estimator to estimate the true value of g(θ). In other words, our goal is to find a random interval—whose endpoints are functions of the sample—that covers the true value of the unknown parametric function g(θ) with the desired level of confidence.