Ανισότητα των Cramér-Rao, Πληροφορία του Fisher και Αποδοτικοί Εκτιμητές

Abstract

Ένας τρόπος να αντιπαρέλθουμε το πρόβλημα μη ύπαρξης βέλτιστου εκτιμητή είναι να περιορισθούμε στην αναζήτηση ΑΟΕΔ εκτιμητή. Υπενθυμίζουμε ότι ένας ΑΟΕΔ εκτιμητής έχει ελάχιστη διασπορά μεταξύ όλων των αμερόληπτων εκτιμητών της τιμής g(θ). Στο κεφάλαιο αυτό ασχολούμαστε με την ύπαρξη ενός κάτω φράγματος για τη διασπορά μιας στατιστικής συνάρτησης. Στη συνέχεια βλέπουμε ότι σε ορισμένες περιπτώσεις αυτό το κάτω φράγμα μπορεί να χρησιμοποιηθεί για να δείξουμε ότι ένας εκτιμητής είναι ΑΟΕΔ εκτιμητής και μάλιστα με διασπορά ίση προς το κάτω φράγμα. Ένας τέτοιος εκτιμητής αναφέρεται ως αποδοτικός εκτιμητής. Σημειώνουμε, όμως, ότι η κύρια εφαρμογή και χρήση του κάτω φράγματος είναι στις ασυμπτωτικές ιδιότητες εκτιμητών.

One way to circumvent the problem of the non-existence of an optimal estimator is to restrict our search to a UMVUE (Uniformly Minimum Variance Unbiased Estimator). Recall that a UMVUE has the minimum variance among all unbiased estimators of the quantity g(θ). In this chapter, we deal with the existence of a lower bound for the variance of a statistic. Then, we see that in certain cases, this lower bound can be used to show that an estimator is a UMVUE, with variance equal to the lower bound. Such an estimator is referred to as an efficient estimator. However, it should be noted that the main application and use of the lower bound lies in the asymptotic properties of estimators.