Μια εισαγωγή στη γραμμική άλγεβρα

Abstract

Το βιβλίο καλύπτει την κλασική ύλη ενός μαθήματος γραμμικής άλγεβρας. Ξεκινά συζητώντας την επίλυση γραμμικών συστημάτων, εισάγει τη χρήση πινάκων ως αποτελεσματικού εργαλείου και συνεχίζει με την έννοια του διανυσματικού χώρου. Δίνονται πολλά παραδείγματα από τον δισδιάστατο και τον τρισδιάστατο πραγματικό χώρο, ενώ οι αφηρημένοι διανυσματικοί χώροι μελετώνται στο τελευταίο κεφάλαιο του βιβλίου. Ακολουθεί η έννοια της διάστασης, των γραμμικών συναρτήσεων ανάμεσα στους διανυσματικούς χώρους, οι ιδιοτιμές, τα ιδιοδιανύσματα και τα σχετικά θεωρήματα. Επίσης, συζητιούνται τα εσωτερικά γινόμενα και το φασματικό θεώρημα και το αντίστροφό του για την ορθογωνοποίηση των πινάκων. Τα παραπάνω παρουσιάζονται συνοπτικά στους γενικούς διανυσματικούς χώρους. Τα ιστορικά στοιχεία παρέχονται στο τέλος κάθε κεφαλαίου, έτσι ώστε να μπορεί ο αναγνώστης να έχει μια ιδέα για την χρονική εξέλιξη της κάθε θεματικής ενότητας. Ιδιαίτερη έμφαση δίνεται στις εφαρμογές. Οι αποδείξεις έχουν έντονη γεωμετρική χροιά.

The book covers the classic material of a linear algebra course. It begins by discussing the solution of linear systems, introduces the use of matrices as an effective tool, and continues with the concept of vector space. Many examples are given from two-dimensional and three-dimensional real space, while abstract vector spaces are studied in the last chapter of the book. This is followed by the concept of dimension, linear functions between vector spaces, eigenvalues, eigenvectors, and related theorems. In addition, inner products and the spectral theorem and its inverse for the orthogonalization of matrices are discussed. The above are presented briefly in general vector spaces. Historical information is provided at the end of each chapter so that the reader can get an idea of the chronological development of each topic. Particular emphasis is placed on applications. The proofs have a strong geometric flavor.