Συνέχεια

Abstract

Γίνεται εισαγωγή στην έννοια της συνέχειας, ακολουθώντας την δομή του Λυκείου . Κεντρική θέση έχει το Θεώρημα του Bolzano και οι εφαρμογές του. Σε μεγάλο βαθμό η ύλη είναι γνωστή από το Λύκειο. Το καινούργιο στοιχείο είναι η αυστηρή απόδειξη όλων των θεωρημάτων, ξεκινώντας από την απόδειξη του Θεωρήματος του Bolzano με χρήση της έννοιας του supremum. Παρουσιάζονται, επίσης, δύο νέα κομμάτια ύλης: 1) Η Μέθοδος της Διχοτόμησης. Το πρώτο παράδειγμα αριθμητικής μεθόδου που θα δουν οι φοιτητές. 2) Συνέχεια Lipschitz . Πέραν της χρησιμότητάς της σε κατοπινά θέματα αριθμητικής ανάλυσης, είναι μια βατή έννοια που βοηθά να ξεκαθαρίσουν οι φοιτητές τις διαφορές ανάμεσα στην συνέχεια και την παραγώγιση.

An introduction to the concept of continuity is provided, following the structure of high school mathematics. The Bolzano theorem and its applications are central to this section. Much of the material is familiar from high school. The new element is the rigorous proof of all theorems, starting with the proof of Bolzano's Theorem using the concept of supremum. Two new pieces of material are also presented: 1) The Method of Dichotomy. The first example of an arithmetic method that students will see. 2) Lipschitz continuity. Beyond its usefulness in later topics in numerical analysis, it is an accessible concept that helps students clarify the differences between continuity and differentiation.