Αριθμητική Ανάλυση Μερικών Διαφορικών Εξισώσεων

Abstract

Το παρόν σύγγραμμα φιλοδοξεί να δώσει μια εκτεταμένη εισαγωγή στην Αριθμητική Ανάλυση προβλημάτων Μερικών Διαφορικών Εξισώσεων (ΜΔΕ) και να χρησιμεύσει ως σύγγραμμα τόσο για προχωρημένα προπτυχιακά, όσο και για μεταπτυχιακά μαθήματα στο αντικείμενο αυτό. Επιλέχθηκε η παρουσίαση δύο δημοφιλών κατηγοριών μεθόδων: των Μεθόδων Πεπερασμένων Διαφορών (ΜΠΔ) και των Μεθόδων Πεπερασμένων Στοιχείων (ΜΠΣ). Το σύγγραμμα περιέχει μια σύντομη και, αναπόφευκτα ατελή, αναδρομή στη βασική θεωρία ΜΔΕ (Κεφάλαια 1 και 7) όπου αναφέρονται βασικές έννοιες, ιδιότητες και αποτελέσματα, καθώς και μερικά προχωρημένα θέματα μοντέρνας θεωρίας ΜΔΕ, όπως είναι η ασθενής μορφή ΜΔΕ, οι συναρτησιακοί χώροι Lebesgue και Sobolev, η μέθοδος της ενέργειας κ.ά. Στο Κεφάλαιο 2 δίνεται μια σύντομη εισαγωγή στις διαιρεμένες διαφορές και παρουσιάζεται η βασική μέθοδος πεπερασμένων διαφορών για το μονοδιάστατο πρόβλημα συνοριακών τιμών δεύτερης τάξης. Προχωρούμε στην παρουσίαση μεθόδων πεπερασμένων διαφορών για παραβολικά (Κεφάλαιο 3), γραμμικά υπερβολικά (Κεφάλαιο 4), μη γραμμικά υπερβολικά (Κεφάλαιο 5) και ελλειπτικά προβλήματα ΜΔΕ (Κεφάλαιο 6), δίνοντας προσοχή στη μελέτη της συνέπειας, της ευστάθειας και σύγκλισης των μεθόδων, για τις οποίες αποδεικνύουμε βασικές εκτιμήσεις σφάλματος. Στη συνέχεια, προχωρούμε στην περιγραφή και στην ανάλυση μεθόδων πεπερασμένων στοιχείων για γραμμικά ελλειπτικά προβλήματα (Κεφάλαιο 8). Ακολούθως, παρουσιάζουμε ΜΠΣ για παραβολικά προβλήματα στο Κεφάλαιο 9. Στο Κεφάλαιο 10 δίνεται μια εισαγωγή στην, επονομαζόμενη, εκ των υστέρων ανάλυση σφάλματος, η οποία στη συνέχεια χρησιμοποιείται για να οριστούν τεχνικές αυτόματης προσαρμογής της τοπικής «ανάλυσης»/«λεπτότητας» της ΜΠΣ για ελλειπτικά και παραβολικά προβλήματα. Στο Κεφάλαιο 11 δίνονται οι βασικές αρχές και η ανάλυση σφάλματος της Ασυνεχούς Μεθόδου Galerkin για τα προβλήματα αυτά. Τέλος, στο Κεφάλαιο 12 παρουσιάζονται εν συντομία προχωρημένα θέματα στη θεωρία ΜΠΣ. Συγκεκριμένα, δίνονται μερικές βασικές έννοιες για τον ορισμό πεπερασμένων στοιχείων υψηλής τάξης σύγκλισης, καθώς και μια χωροχρονική ΜΠΣ με χρονικό βηματισμό ορισμένο μέσω ασυνεχούς μεθόδου Galerkin.

This book aspires to provide an extensive introduction to the Numerical Analysis of Partial Differential Equation (PDE) problems and to serve as a textbook for both advanced undergraduate and graduate courses in this topic. The presentation of two popular categories of methods is chosen: Finite Difference Methods (FDM) and Finite Element Methods (FEM). The volume contains a brief, and inevitably incomplete, review of basic PDE theory (Chapters 1 and 7) covering key concepts, properties and results, as well as some advanced topics in modern PDE theory, such as the weak form, Lebesgue and Sobolev function spaces, energy method etc. Chapter 2 gives a brief introduction to divided differences and presents the basic finite difference method for the one-dimensional second-order boundary value problem. We proceed by presenting finite difference methods for parabolic (Chapter 3), linear hyperbolic (Chapter 4), nonlinear hyperbolic (Chapter 5), and elliptic PDE problems (Chapter 6), with special attention to the study of consistency, stability and convergence of the methods, for which we prove basic error estimates. Next, we proceed with the presentation and analysis of finite element methods for linear elliptic problems (Chapter 8). We present FEM for parabolic problems in Chapter 9. In Chapter 10, an introduction to the so-called, a posteriori error analysis is given, which is then used to define algorithms for automatically adjusting the local "resolution" of FEM for elliptic and parabolic problems. Chapter 11 gives the basic principles and error analysis of the Discontinuous Galerkin Method for these problems. Finally, in Chapter 12, we present some advanced topics in FEM theory. In particular, some basic concepts are given for the definition of high-order finite elements, as well as a space-time FEM with time stepping defined via a discontinuous Galerkin method.