Αλγεβρική Τοπολογία

Abstract

Στο πρώτο κεφάλαιο του παρόντος συγγράμματος υπενθυμίζονται βασικές έννοιες της Γενικής Τοπολογίας. Στο δεύτερο κεφάλαιο μελετάται ο χώρος πηλίκο, γίνεται μια συνοπτική εισαγωγή στις τοπολογικές πολλαπλότητες και παρουσιάζεται η κλασική ταξινόμηση των συμπαγών επιφανειών. Στο τρίτο κεφάλαιο μελετώνται τοπολογικές ομάδες και δράσεις ομάδων σε τοπολογικούς χώρους, με έμφαση στη χρήσιμη έννοια της άρτιας δράσης. Στο τέταρτο κεφάλαιο εισάγονται η ομοτοπία απεικονίσεων, η θεμελιώδης ομάδα τοπολογικού χώρου και η ομοτοπική ισοδυναμία τοπολογικών χώρων. Στο πέμπτο κεφάλαιο μελετώνται απλά συνεκτικοί χώροι, συσταλτοί χώροι, παραμορφωτικές και ισχυρά παραμορφωτικές συρρικνώσεις και αποδεικνύεται ότι οι θεμελιώδεις ομάδες τοπολογικών ομάδων είναι αβελιανές. Στο έκτο και έβδομο κεφάλαιο μελετώνται επικαλύψεις, ανυψώσεις απεικονίσεων και ομοτοπίας, δράση μονοδρομίας, καθολικοί χώροι επικάλυψης, ιεραρχίες επικαλύψεων και αυτομορφισμοί, άρτιες δράσεις και κανονικές επικαλύψεις. Το όγδοο κεφάλαιο αποτελεί μια εισαγωγή στην ιδιάζουσα ομολογία. Μελετώνται οι ομολογιακές ομάδες τοπολογικών χώρων, οι ομομορφισμοί που επάγονται από συνεχείς απεικονίσεις και αποδεικνύεται το αναλλοίωτο της ομολογίας ως προς ομοτοπικές απεικονίσεις. Στο ένατο κεφάλαιο εισάγονται οι ομάδες ομοτοπίας ανώτερης τάξης και γίνεται η σύνδεση ομοτοπίας και ομολογίας μέσω του Θεωρήματος Hurewicz. Επίσης, με χρήση της ακολουθίας Mayer-Vietoris, υπολογίζονται οι ομολογιακές ομάδες των σφαιρών. Στο δέκατο κεφάλαιο αποδεικνύονται σημαντικά Θεωρήματα της Αλγεβρικής Τοπολογίας, όπως το Αναλλοίωτο της Διάστασης, το Θεώρημα της Τριχωτής Σφαίρας και το Θεώρημα Σταθερού Σημείου του Brouwer. Μέσω της μελέτης εμφυτεύσεων σφαιρών σε σφαίρες, αποδεικνύονται επίσης το Αναλλοίωτο του Χωρίου και το Θεώρημα Jordan-Brouwer. Διατυπώνεται το γενικό Θεώρημα Seifert-Van Kampen και δίνεται η απόδειξη μιας ειδικής περίπτωσής του από τον Grothendieck. Χρησιμοποιούνται βασικά εργαλεία της Συνδυαστικής Θεωρίας Ομάδων για τον υπολογισμό των θεμελιωδών ομάδων των συμπαγών επιφανειών. Τέλος, γίνεται μια σύντομη αναφορά σε θεμελιακά ζητήματα, όπως είναι τα προβλήματα των λέξεων, του ισομορφισμού και του ομοιομορφισμού.

The first chapter is a reminder of basic notions from General Topology. In the second chapter quotient spaces are studied, a concise introduction to topological manifolds is given and the classical classification of compact surfaces is presented. In the third chapter topological groups and group actions on topological spaces are studied, with emphasis on the useful notion of even actions. The fourth chapter is an introduction to homotopy of maps, fundamental groups of topological spaces and homotopy equivalence. In the fifth chapter simply connected spaces, contractible spaces, deformation retractions and strong deformation retractions are introduced and the proof that topological groups have abelian fundamental groups is given. The sixth and seventh chapters introduce coverings, liftings of maps and homotopies, the monodromy action, universal covering spaces, hierarchies and automorphisms of coverings, even actions and normal coverings. The eighth chapter introduces Singular Homology. Homology groups of topological spaces and homomorphisms induced by continuous maps are studied and the homotopy invariance of homology is proven. In the ninth chapter higher homotopy groups are introduced and the connection between homotopy and homology is presented via the Hurewicz Theorem. Also, using the Mayer-Vietoris sequence, the homology groups of spheres are calculated. In the tenth chapter, important theorems in Algebraic Topology are proven, namely Invariance of Dimension, the Hairy Ball Theorem and the Brouwer Fixed Point Theorem. The study of embeddings of spheres into spheres also establishes Invariance of Domain and the Jordan-Brouwer Theorem. The general Seifert-Van Kampen Theorem is stated and Grothendieck’s proof of a special case is given. The fundamental groups of compact surfaces are calculated, using basic tools from Combinatorial Group Theory. Finally, a concise reference is made to foundational issues, like the word problem, the isomorphism problem and the homeomorphism problem.