Θεμελιώδεις Έννοιες των Μαθηματικών

Abstract

Στο σύγγραμμα αυτό μελετώνται ορισμένες από τις θεμελιώδεις έννοιες των Μαθηματικών και πρωταρχικός σκοπός του είναι να συμβάλει στην προσπάθεια «γεφύρωσης» του χάσματος για μια ομαλή ένταξη των νεοεισερχόμενων φοιτητών στα αντίστοιχα Τμήματα Μαθηματικών στα Ελληνικά Πανεπιστήμια. Το μεγάλο πρόβλημα εντοπίζεται στο ότι οι νεοεισερχόμενοι φοιτητές δεν έχουν διδαχθεί την «πειθαρχία» σκέψης και έκφρασης (προφορικής και γραπτής) και δεν έχουν εξασκηθεί σε αυτήν. Οι έννοιες που μελετώνται αφενός είναι αναγκαίες για να συνεχίσει ένας πρωτοετής φοιτητής τη σπουδή των Μαθηματικών, αφετέρου, μέσω αυτής της μελέτης, ο νέος θα αποκτήσει την ικανότητα να επιχειρηματολογεί και να τεκμηριώνει αποδείξεις. Όποιος/-α σκοπεύει να ασχοληθεί με τη μελέτη των Μαθηματικών, πρέπει να μάθει να χρησιμοποιεί τη μαθηματική σκέψη για επαλήθευση μαθηματικών ισχυρισμών και να ανακαλύπτει (μαθηματικές) αλήθειες. Έτσι προετοιμάζεται να σκέφτεται κριτικά και διερευνητικά, να κατανοεί αποδείξεις και να γράφει τις δικές του αποδείξεις. Οι προαπαιτούμενες γνώσεις είναι ελάχιστες. Επαναφέροντας αυτές τις γνώσεις στο προσκήνιο, προχωράμε σιγά σιγά εντοπίζοντας κενά στην κατανόησή τους, ακόμη και λάθη ως προς τον τρόπο, με τον οποίο τις είχαμε κατανοήσει. Επίσης, θα διαπιστώσουμε ότι το να σκεφτόμαστε με μαθηματικό τρόπο είναι διαφορετικό από τον τρόπο σκέψης σε άλλα επιστημονικά πεδία. Η μελέτη των Μαθηματικών είναι μια δυναμική διαδικασία, η οποία απαιτεί ενεργητικότητα, δεν είναι, δηλαδή, μια απλή επιφανειακή ανάγνωση. Επιπρόσθετα, ο περιορισμός σε ένα σύγγραμμα, όσο καλό και αν είναι αυτό, εγκλωβίζει τον αναγνώστη. Πρέπει να έχουμε μια ευελιξία στη μελέτη μας. Η μελέτη (κυρίως στα Μαθηματικά) παρουσιάζει παλινδρομήσεις. Εδώ συνειδητοποιούμε τη μεγάλη διαφορά μεταξύ του κατανοώ κάτι, του απαντώ σε ένα ερώτημα και του παρουσιάζω προφορικά ή γραπτά την απάντηση ενός προβλήματος. Όπως προείπαμε, το βιβλίο αυτό απευθύνεται, κυρίως, σε νεοεισερχόμενους φοιτητές σε Τμήματα Μαθηματικών σε Ελληνικά Πανεπιστήμια. Αυτό δεν σημαίνει ότι δεν μπορεί να φανεί χρήσιμο σε οποιονδήποτε θέλει να ξεκινήσει να ασχολείται με τη μελέτη των Μαθηματικών. Για τον λόγο αυτόν, το σύγγραμμα έχει δομηθεί με ευελιξία, ώστε να προσφέρεται και για αυτοδιδασκαλία.

In this book, some of the fundamental principles of Mathematics are covered and its main aim is to contribute to the effort to “bridge the gap” for a smooth integration of newly admitted students in the Mathematics Schools of Greek Universities. The major problem that first-year Mathematics students in Greek Universities encounter is that they are not properly taught, and thus, they lack the “discipline” needed to think and express themselves mathematically (both orally and in writing). The concepts in study are necessary, not only because first-year students will be able to keep up with the requirements of their classes, but also because their thorough understanding will render them capable of defending and supporting mathematical proofs. Anyone willing to commit to the study of Mathematics needs to adopt a mathematical way of thinking to corroborate mathematical statements and discover (mathematical) facts. In that way, he/she learns to research, judge, comprehend mathematical proofs and formulate his/her proofs. To study this book, prerequisite knowledge is minimal. By refreshing this knowledge, we can slowly move forward by identifying gaps and even confusion and errors in our previous understanding. We can also observe that the mathematical way of thinking may be different from the way of thinking in other scientific disciplines. Studying Mathematics is a dynamic process that requires energy, and superficial “scanning” is not sufficient. Furthermore, limiting oneself to a single textbook, however good it is, may “trap” the reader. Therefore, as the Mathematics study presents regressions, we need to have flexibility. We must also make clear the line between comprehension, answering a question, and outlining a problem-solving strategy, both orally and in writing. As previously said, this book addresses the needs of students in Greek Mathematics Schools. Nonetheless, it can still be a useful aid for anyone who intends to start studying Mathematics. Thus, it has a flexible structure to support self-learning.