Εισαγωγή στην Αντιμεταθετική Άλγεβρα

Abstract

Στο βιβλίο παρουσιάζεται αναλυτικά και με ευρύτητα η Θεωρία των Αντιμεταθετικών Δακτυλίων. Αρχικά περιγράφονται οι απαρχές της Αντιμεταθετικής Άλγεβρας και επιχειρείται η σύνδεσή της με τη Θεωρία Αριθμών, την Αλγεβρική Γεωμετρία και τη Θεωρία των Αναλλοίωτων. Ορίζεται το ριζικό ενός ιδεώδους και μελετάται η εξαιρετικά χρήσιμη έννοια της τοπικοποίησης ενός δακτυλίου ως προς ένα πολλαπλασιαστικά κλειστό υποσύνολο. Ορίζεται η έννοια του δακτυλίου της Noether και αποδεικνύεται το Θεώρημα Βάσης του Hilbert. Ορίζεται και μελετάται η έννοια της πρωταρχικής ανάλυσης ενός ιδεώδους σε δακτύλιους της Noether. Παρέχεται μια εισαγωγή στις μονωνυμικές διατάξεις και στις βάσεις Groebner, που αποτελούν ιδιαίτερα σημαντικό υπολογιστικό εργαλείο. Εισάγεται και μελετάται η έννοια του R-module για έναν δακτύλιο R και δίνεται μία σύντομη εισαγωγή στην Ομολογική Άλγεβρα αυτών. Παρουσιάζεται η έννοια της τοπικοποίησης ενός R-module και εξετάζονται οι ιδιότητες των R-modules της Noether και του Artin. Αποδεικνύεται ότι κάθε δακτύλιος του Artin είναι δακτύλιος της Noether. Μελετάται η πολύ σημαντική έννοια της ακέραιας επέκτασης δακτυλίων, δίνονται εφαρμογές στη Θεωρία Αριθμών και αποδεικνύονται το θεμελιώδες Θεώρημα Κανονικοποίησης της Noether και οι διάφορες μορφές του εξίσου θεμελιώδους Θεωρήματος των μηδενικών του Hilbert. Παρουσιάζεται η θεωρία της διάστασης Krull των δακτυλίων της Noether. Ορίζονται οι συναρτήσεις Hilbert και Hilbert-Samuel και μελετάται η συσχέτισή τους με τη θεωρία διάστασης. Παρουσιάζεται η θεωρία των δακτυλίων εκτίμησης και των ακέραιων περιοχών του Dedekind. Γίνεται εισαγωγή στη θεωρία της πλήρωσης ενός R-module ως προς ένα φιλτράρισμα. Σε κάθε κεφάλαιο αναφέρονται συσχετίσεις με έννοιες της Αλγεβρικής Γεωμετρίας. Σχεδόν σε όλα τα κεφάλαια υπάρχει σχετικός κώδικας γραμμένος στο υπολογιστικό πακέτο Συμβολικής Άλγεβρας Macaulay2. Κάθε κεφάλαιο περιέχει πολλά παραδείγματα και άλυτες ασκήσεις και το βιβλίο ενδείκνυται για ανεξάρτητη μελέτη.

The book presents in detail the theory of Commutative Rings. First, the origins of Commutative Algebra are presented, and its connections to Number Theory, Algebraic Geometry and Invariant Theory are made. Next, the notion of the radical of an ideal as well as the extremely useful notion of localization with respect to a multiplicatively closed subset are given. Noetherian rings are defined, and Hilbert's Basis Theorem is proved. The notion of a primary decomposition is discussed. An introduction to monomial orderings and Groebner bases, a particularly important computational tool, is provided. For a ring R, the notion of an R-module is introduced, and a brief introduction to their Homological Algebra is given. The localization of R-modules is introduced as well, and properties of Noetherian and Artinian modules are considered. It is shown that every Artinian ring is Noetherian. The notion of integral ring extension is studied, with applications to number theory. Noether's Normalization Lemma and various forms of the equally fundamental Hilbert’s Nullstellensatz are proved. Krull’s dimension theory is presented. Hilbert’s and Hilbert-Samuel functions are defined and their connection with dimension theory are studied. Valuation rings and Dedekind integral domains are presented. An introduction to the theory of completion is given. Each chapter contains a section with related concepts to Algebraic Geometry while most of them have a section with related code in Macaulay2 Symbolic Algebra computing package. Moreover, each chapter contains many examples and unsolved exercises and the book is suitable for independent study in undergraduate and graduate level.