An Introduction to Algebraic Theory of Codes

Abstract

Θεματολογία του βιβλίου: Η Θεωρία Κωδίκων αποτελεί έναν σχετικά πρόσφατο κλάδο των Εφαρμόσιμων Μαθηματικών με ισχυρό όμως Θεωρητικό υπόβαθρο. Το πρόβλημα που έπρεπε να αντιμετωπισθεί ήταν η εξασφάλιση αξιόπιστης επικοινωνίας. Όπως είναι γνωστόν κατά την μετάδοση ενός μηνύματος ενδέχεται να προκληθούν αλλοιώσεις (παρεμβολές λαθών). Τα αίτια που προκαλούν τις παρεμβολές καθώς και η ανάπτυξη τεχνικών αντιμετώπισης και βελτίωσης των διαύλων επικοινωνίας από τεχνολογικής απόψεως αποτελεί αντικείμενο της επιστήμης της Πληροφορίας και δεν θα μας απασχολήσει. Εδώ με δεδομένο ότι έχουμε έναν αναξιόπιστο δίαυλο επικοινωνίας θα παρουσιάσουμε μεθόδους που έχουν αναπτυχθεί ώστε να κωδικοποιούμε ένα μήνυμα. Η κωδικοποίηση γίνεται κατά τέτοιο τρόπο ώστε όταν λαμβάνεται ένα μήνυμα, το οποίο έχει υποστεί αλλοιώσεις κατά την μετάδοσή του, ο παραλήπτης να είναι σε θέση όχι μόνο να ανιχνεύσει την ύπαρξη λαθών, αλλά και να τα διορθώσει. Η όλη προσπάθεια στηρίζεται στη χρήση Καθαρών Μαθηματικών και ιδιαίτερα από την περιοχή της Γραμμικής Άλγεβρας και των πεπερασμένων σωμάτων. <br/>Αν και η ξενόγλωσση βιβλιογραφία είναι εκτενέστατη, στην Ελληνική βιβλιογραφία, απ’ ότι γνωρίζω, ψήγματα της όλης θεωρίας εμφανίζονται αποσπασματικά σε ορισμένα συγγράμματα. Η πρώτη συστηματική προσπάθεια συγγραφής ενός αυτοτελούς συγγράμματος έγινε από εμένα πριν από εννέα χρόνια, όπου συνέγραψα ένα βιβλίο με τον τίτλο «Στοιχεία Αλγεβρικής Θεωρίας Κωδίκων». Το βιβλίο, το οποίο πρόκειται να συγγράψω δεν αποτελεί επανέκδοση αυτού του βιβλίου, καθ’ ότι έχει γίνει πλήρης αναμόρφωση του περιεχομένου του, αλλά κυρίως διότι έχουν προστεθεί επιπλέον περιεχόμενα, αναγκαία για την πληρότητα και ολοκληρωμένη παρουσίαση. Η διάρθρωση έχει σχεδιαστεί ώστε να αποτελεί ένα αυτοδύναμο σύγγραμμα, το οποίο θα μπορεί να υποστηρίξει αυτοτελώς ένα μάθημα που απευθύνεται, τόσο σε προπτυχιακούς όσο και σε μεταπτυχιακούς φοιτητές Πανεπιστημιακών και Πολυτεχνικών Σχολών.

Information Theory and Coding Theory have been deeply intertwined since their origins, marked by Claude Shannon’s famous paper “A Mathematical Theory of Communication” in 1948. In contrast, Cryptography, though closely linked to Information and Coding Theories, dates back to ancient times. The distinction among these fields is primarily for technical and educational clarity. This book, intended for both science students and self-learners, focuses exclusively on Algebraic Coding Theory. However, it also aims to illustrate the necessity, power, and elegance of Mathematics. The mathematical prerequisites are modest; a basic understanding of Linear Algebra and Probability, along with some familiarity with polynomials over a field, will suffice as a starting point. Beyond these specific requirements, a general “mathematical maturity” is essential. The material is initially accessible to readers without advanced mathematical expertise, but it gradually increases in complexity, offering opportunities for deeper exploration. Efforts have been made to structure the sections as independently as possible, allowing flexibility in the order of study, whether in a classroom setting or during self-study. For a detailed overview of each chapter, please refer to the book’s table of contents. Each section contains numerous examples and exercises. Throughout the text, you will find prompts like “we can easily see that…,” “it is not difficult to prove that…,” “the proof is left as an exercise…”, along with thought-provoking “why?” questions, encouraging active engagement. At the end of each chapter, a recommended bibliography is provided, encouraging interested readers to delve deeper into the subject matter.