Θεωρία Galois

Abstract

Το βιβλίο αναπτύσσει τη Θεωρία Galois επεκτάσεων σωμάτων.Το βασικό θέμα που αντιμετωπίζει η Θεωρία Galois είναι η επίλυση αλγεβρικών εξισώσεων, δηλ. πολυωνυμικών εξισώσεων. Η θεωρία πολυωνύμων και η εύρεση των ριζών ενός πολυωνύμου αποτελεί ένα μαθηματικό αντικείμενο ευρύτατης χρήσης σε όλους τους κλάδους των μαθηματικών, αλλά και των εφαρμογών τους.<br/>Στο βιβλίο αυτό αναπτύσσεται η θεωρία πολυωνύμων πάνω από ένα σώμα. Η εύρεση των ριζών ενός πολυωνύμου στηρίζεται στη θεωρία επεκτάσεων σωμάτων και κυρίως πεπερασμένης διάστασης επεκτάσεων. Έτσι το επόμενο θέμα που αναπτύσσεται είναι η μελέτη επεκτάσεων σωμάτων και ιδιαίτερα των αλγεβρικών επεκτάσεων. Οι αυτομορφισμοί σωμάτων παίζουν εξαιρετικά σημαντικό ρόλο και η μελέτη τους προηγείται της απόδειξης του Θεμελιώδους Θεωρήματος της Θεωρίας Galois. Η θεωρία πεπερασμένων σωμάτων αναπτύσσεται εκτενώς και δίνονται τρόποι εύρεσης των αναγώγων πολυωνύμων πάνω από τέτοια σώματα. <br/>Στο βιβλίο δίνουμε εφαρμογές της Θεωρίας Galois στην επίλυση πολυωνυμικών εξισώσεων τόσο πάνω από σώματα χαρακτηριστικής μηδέν όσο και πάνω από πεπερασμένα σώματα. Μεταξύ των εφαρμογών της Θεωρίας Galois αναφέρουμε τα κλασικά άλυτα προβλήματα κατασκευασιμότητας με κανόνα και διαβήτη που απασχόλησαν τους εξαιρετικούς αρχαίους Έλληνες μαθηματικούς και φιλοσόφους. Επίσης δίνονται ικανές και αναγκαιίες συνθήκες για την κατασκευασιμότητα κανονικών πολυγώνων.<br/>Η Θεωρία Galois κορυφώνεται με τη θεωρία επιλυσιμότητας, όπου παρέχεται πλήρης πληροφορία για το πότε μπορούν αλγεβρικοί τύποι για την περιγραφή των ριζών ενός πολυωνύμου, δηλ. πότε ένα πολυώνυμο είναι επιλύσιμο με ριζικά<br/>Παρέχουμε την απαιτούμενη θεωρία Ομάδων με πληθώρα παραδειγμάτων. Τέλος αναφερόμαστε στον ρόλο που παίζει η ομάδα μεταθέσεων στην επιλυσιμότητα των πολυωνύμων.<br/>Οι ασκήσεις παίζουν σημαντικό ρόλο στην εμπέδωση της ύλης και παρέχονται εκτενείς υποδείξεις.<br/>Στο τέλος δίνεται εκτενής βιβλιογραφία.

The book develops the Galois Theory of field extensions. The theory of polynomials and the determination of their roots is a subject widely used in all branches of mathematics and their applications. In this book, we develop the theory of polynomials over a field and the process of finding polynomial roots, based on the theory of field extensions, particularly finite-dimensional extensions. Automorphisms of fields play an extremely important role, and their extensive study precedes the proof of the Fundamental Theorem of Galois Theory. The theory of finite fields is developed, and methods for finding irreducible polynomials over such fields are presented. We also present applications of Galois Theory to solving polynomial equations over both fields of characteristic zero and finite fields. The classical unsolved problems of constructability with a straightedge and compass from antiquity are discussed. Sufficient and necessary conditions for the constructability of regular polygons are also provided. A proof of the Fundamental Theorem of Algebra is presented. Galois Theory culminates in solvability theory, offering complete information on when algebraic formulas exist for the roots of a polynomial, i.e., when a polynomial is solvable by radicals. Throughout the text, we highlight the role of permutation groups in the solvability of polynomials and provide numerous examples. In the appendix, we include the necessary material on Group Theory and Ring Theory. A brief historical overview is given at the beginning of the text. Exercises play a crucial role in reinforcing the material, and extensive hints are provided. An extensive bibliography is included at the end.