Μαθηματική Ανάλυση

Abstract

Το προτεινόμενο βιβλίο περιλαμβάνει εκείνη την ύλη των μαθηματικών, που διδάσκεται ως Μαθηματική Ανάλυση Ι ή Λογισμός συναρτήσεων μίας μεταβλητής ή Μαθηματικά Ι, στα πρώτα εξάμηνα των Τμημάτων, των Θετικών και Φυσικών Επιστημών, των Πολυτεχνικών, Οικονομικών και Κοινωνικών Σχολών αλλά και Σχολών Τεχνολογικών Εφαρμογών των ΤΕΙ. Απευθύνεται σε προπτυχιακούς φοιτητές και σπουδαστές ως κύριο σύγγραμμα και σε πτυχιούχους ως ένα χρήσιμο ηλεκτρονικό βιβλίο αναφοράς. Στο περιεχόμενό του ο αναγνώστης μπορεί να βρει υλικό που σχετίζεται με:<br/>- το λογισμό και τη μελέτη συνάρτησης μίας πραγματικής μεταβλητής, <br/>- το αόριστο, το ορισμένο, το γενικευμένο ολοκλήρωμα και τις εφαρμογές τους, <br/>- τις ακολουθίες πραγματικών αριθμών,<br/>- τις σειρές πραγματικών αριθμών και συναρτήσεων. <br/><br/>Στο βιβλίο επιχειρείται η παρουσίαση της θεωρητικής δομής και μεθοδολογίας της Μαθηματικής Ανάλυσης με συστηματικό και απλό τρόπο, με ακρίβεια και πληρότητα, εφόσον οι έννοιες ακολουθία, όριο, συνέχεια, παράγωγος και ολοκλήρωμα, είναι γνωστές από το Λύκειο. Στόχος είναι η εύχρηστη αναφορά στην ύλη του λογισμού των συναρτήσεων μίας πραγματικής μεταβλητής και η κατανόηση των θεμελιωδών εννοιών του διαφορικού και ολοκληρωτικού λογισμού, ως υπόβαθρο σε άλλα προπτυχιακά μαθήματα, όπως Σήματα Συστήματα, Ψηφιακή Επεξεργασία Σημάτων, κ.ά. Για το σκοπό αυτό, η ύλη είναι αυστηρά διατυπωμένη, με Ορισμούς, Θεωρήματα και Προτάσεις, χωρίς μακροσκελείς αποδείξεις και η παρουσίασή της στηρίζεται σε επιλεγμένα παραδείγματα και εφαρμογές. Επίσης, για την αφομοίωση των όρων της Μαθηματικής Ανάλυσης αξιοποιούνται οι γνώσεις και οι δυνατότητες, που δίνει η τεχνολογική ανάπτυξη των υπολογιστών, γράφοντας προγράμματα με τη χρήση κάποιου συστήματος υπολογιστικής άλγεβρας (Mathematica/Matlab/Octave). <br/>Κάθε κεφάλαιο θα περιλαμβάνει:<br/>• θεωρία<br/>• παραδείγματα και εφαρμογές με αναφορές στη θεωρία μέσω συνδέσμων<br/>• άλυτες ασκήσεις με τις απαντήσεις, ώστε να μπορεί ο αναγνώστης να κάνει αυτοαξιολόγηση<br/>• βιβλιογραφία, τυπολόγιο.

The proposed book includes the mathematics material taught as Mathematical Analysis I or Calculus of functions of a real variable or Mathematics I, in the early semesters of the Departments of the Schools of Science, of the Schools of Engineering, Economic and Social Schools, as well as Schools of Technological Applications in Technical Educational Institutes (TEI). It is intended for undergraduate students as a primary textbook and for graduates as a useful electronic reference book. In its content the reader can find material related to: • The calculus and the study of a real-valued function of a real variable, • The indefinite, definite, and generalized integrals and their applications, • The sequences of real numbers, • The series of real numbers and functions. The book attempts to present the theoretical structure and methodology of Mathematical Analysis in a systematic and simple way, with precision and completeness, assuming that the concepts of sequences, limits, continuity, derivatives and integrals are known from high school. The aim is to provide an easy-to-use reference for the material on the calculus of functions of a real variable and to ensure understanding of the fundamental concepts of differential and integral calculus, which serve as a foundation for other undergraduate courses such as Signals and Systems, Digital Signal Processing, etc. To achieve this, the material is strictly formulated, with Definitions, Theorems, and Propositions, without lengthy proofs, and its presentation is supported by selected examples and applications. Additionally, to facilitate the assimilation of the terms of Mathematical Analysis, the book leverages the knowledge and capabilities provided by the technological advancement of computers, through writing programs using computational algebra software (Mathematica/Matlab/Octave). Each chapter includes: • theory, • examples and applications with references to the theory via links, • unsolved exercises with answers for self-assessment, • bibliography and formula sheet.