Σειρές συναρτήσεων

Abstract

Κατά σημείο σύγκλιση. Ομοιόμορφη σύγκλιση. Ομοιόμορφη σύγκλιση και συνέχεια - ολοκλήρωση - παραγώγιση. Κριτήριο του Weiertrass για ομοιόμορφη σύγκλιση σειράς συναρτήσεων. Κριτήρια Dirichlet και Abel. Δυναμοσειρές. Ακτίνα και διάστημα σύγκλισης. Το θεώρημα του Abel. Βασικά παραδείγματα δυναμοσειρών: εκθετική, λογαριθμική, τριγωνομετρικές, της τοξο-εφαπτομένης, δυωνυμική (με διεξοδική ανάλυση σχετικά με το διάστημα σύγκλισης και τα άκρα του). Σειρές Taylor. Βασικά παραδείγματα σειρών Taylor συναρτήσεων: τα προηγούμενα αλλά με αντίστροφη πορεία (από την συνάρτηση στην αντίστοιχη σειρά). Αυστηρός ορισμός των τριγωνομετρικών συναρτήσεων: μέσω των αντίστοιχων δυναμοσειρών. Απόδειξη όλων των βασικών ιδιοτήτων. (συνοπτικά παρουσιάζεται και ο ορισμός μέσω ολοκληρώματος: πρώτα η τοξο-εφαπτομένη και μετά το ημίτονο- συνημίτονο.) (στα προηγούμενα κεφάλαια οι τριγωνομετρικές συναρτήσεις ήταν δεδομένες και χρησίμευαν ως παραδείγματα εφαρμογών των θεωρημάτων).

Pointwise convergence. Uniform convergence. Uniform convergence and continuity - integrability - differentiability of the sum. The criterion of Weiertrass for uniform convergence. The criteria of Dirichlet and of Abel. Power series. Radius and interval of convergence of a power series. The theorem of Abel. Basic examples of power series: exponential, logarithmic, trigonometric, of the arc-tangent, binomial (with a thorough discussion about the interval of convergence and its endpoints). Taylor series. Basic examples of Taylor series: the previous examples but with the inverse course (from the function to the corresponding series). Thorough definition of the trigonometric functions: by means of the corresponding power serises. Proofs of the basic properties of the trigonometric functions. (There is also a brief discussion of the definition by means of integrals: first of the arctangent and then of the sine and the cosine.) (In the previous chapters the trigonometric functions were taken for granted and they were used as examples for the application of relevant theorems.)