Παράγωγοι συναρτήσεων

Abstract

Οι βασικές ιδιότητες των παράγωγων. Κανόνας αλυσίδας και αντίστροφης συνάρτησης. Γεωμετρικό περιεχόμενο. Απειροστά. Διαφορικό συνάρτησης. Παράγωγοι των βασικών συναρτήσεων: δύναμη, εκθετική, λογαριθμική, τριγωνομετρικές. Τα τέσσερα βασικά θεωρήματα: Fermat, Rolle, μέσης τιμής (Lagrange and Cauchy). Εφαρμογές σε μονοτονία συνάρτησης και σε αποδείξεις ανισοτήτων. Παράγωγοι ανώτερης τάξης. Εφαρμογές σε κυρτότητα, σημεία καμπής, ευθείες στήριξης και αποδείξεις ανισοτήτων. Απροσδιόριστες μορφές. Κανόνες L' Hopital. Ο τύπος του Taylor (υπόλοιπο σε μορφή με παράγωγους). Τάξεις μεγέθους κοντά σε σημείο (κυρίως: πολυωνυμική, εκθετική, λογαριθμική). Ασυμπτωτική ισότητα. Μεγάλο και μικρό όμικρον.

Basic properties of the derivatives. The chain rule and the rule of the inverse function. The geometric content of the derivative. Infinitesimals. Differential of a function. Derivatives of the basic functions: power, exponential, logarithm, trigonometric functions. The four basic theorems: of Fermat, of Rolle, of the mean value (Lagrange and Cauchy). Applications on the proof of the monotonicity of a function and on the proofs of inequalities. Derivatives of higher order. Applications on the proof of the convexity of a function, on inflection points, on support lines and on the proofs of inequalities. Indeterminate forms. L' Hopital rules. Taylor’s formula (derivative form of the remainder). Order of magnitude of a function at a point (mainly: polynomial, exponential and logarithmic orders). Asymptotic equality. Big and little oh.