Μιγαδικός λογισμός και ολοκληρωτικοί μετασχηματισμοί

Abstract

Αυτό το βιβλίο απευθύνεται σε φοιτητές τμημάτων φυσικής και μηχανικών των πανεπιστημίων και των πολυτεχνικών σχολών. Το πρώτο μέρος του συγγράμματος ξεκινά με μια συνοπτική έκθεση της άλγεβρας και της γεωμετρίας των μιγαδικών αριθμών και συνεχίζει με την έκθεση της καθιερωμένης και παγιωμένης πλέον κατά τη διάρκεια του προηγούμενου αιώνα εισαγωγικής προπτυχιακής ύλης στη μιγαδική ανάλυση, δηλαδή τη μελέτη των συναρτήσεων μιας μιγαδικής μεταβλητής με έμφαση στις αναλυτικές συναρτήσεις. Παρουσιάζονται και μελετώνται οι έννοιες της μιγαδικής διαφορισιμότητας, του δρομικού ολοκληρώματος, των σειρών Taylor και Laurent, της αναλυτικής επέκτασης, των ανώμαλων σημείων, των ολοκληρωτικών υπολοίπων, καθώς και όλα τα βασικά θεωρήματα που σχετίζονται με αυτές τις έννοιες. Το θεώρημα των ολοκληρωτικών υπολοίπων και οι εφαρμογές του στον υπολογισμό πραγματικών ορισμένων ολοκληρωμάτων αναπτύσσονται διεξοδικά με πολλά παραδείγματα και μεγάλο αριθμό ασκήσεων προς επίλυση, που συχνά συνοδεύονται από υποδείξεις και παρατηρήσεις. Οι σύμμορφες απεικονίσεις και οι εφαρμογές τους στη φυσική παρουσιάζονται με πολλά αναλυτικά αναπτυγμένα παραδείγματα. Οι πρωτοτυπίες που ξεχωρίζουν το πρώτο μέρος αυτού του βιβλίου από άλλα βιβλία μιγαδικής ανάλυσης είναι αφενός ο τρόπος μελέτης των πλειότιμων συναρτήσεων με αλγεβρικά κλαδικά σημεία και αφετέρου ο χειρισμός των δρομικών ολοκληρωμάτων κατά μήκος απλών βρόχων, στο εσωτερικό και στο εξωτερικό των οποίων υπάρχουν μη μεμονωμένα ανώμαλα σημεία της υπό ολοκλήρωση συνάρτησης. Το δεύτερο μέρος του βιβλίου ξεκινά με την παρουσίαση κάποιων συγκεκριμένων συναρτήσεων και συναρτησιακών χώρων. Πρόκειται για εισαγωγικές έννοιες απαραίτητες για τα επόμενα κεφάλαια, στα οποία μελετώνται οι κατανομές, οι σειρές Fourier, οι μετασχηματισμοί Fourier και Laplace μαζί με τις κυριότερες εφαρμογές τους. Το τελευταίο κεφάλαιο πραγματεύεται το μαθηματικό υπόβαθρο της κβαντομηχανικής, δηλαδή τους χώρους Hilbert μαζί με τον συναφή φορμαλισμό Dirac και τους γραμμικούς τελεστές που δρουν σε αυτούς τους χώρους. Η εν λόγω ύλη παρουσιάζεται με περισσότερες λεπτομέρειες από αυτή που μπορεί κανείς να βρει στα περισσότερα βιβλία κβαντομηχανικής: προσεγγίζονται κάποια λεπτά ζητήματα τα οποία για πρακτικούς κυρίως λόγους δεν εκτίθενται εκεί.

This book is intended for students in physics and engineering departments at universities and polytechnic schools. The first part begins with a concise exposition of the algebra and geometry of complex numbers, and continues with the presentation of the established and now solidified introductory undergraduate material in complex analysis. Specifically, it covers the study of functions of a complex variable with an emphasis on analytic functions. The concepts of complex differentiability, contour integration, Taylor and Laurent series, analytic continuation, singular points, residues, and all the fundamental theorems related to these concepts are presented and studied. The residue theorem and its applications in calculating real definite integrals are developed in detail with numerous examples and a large number of exercises to solve, often accompanied by hints and remarks. Conformal mappings and their applications in physics are presented with many thoroughly developed examples. The originalities that distinguish the first part of this book from other complex analysis books are, on one hand, the method of studying multivalued functions with algebraic branch points and, on the other hand, the handling of contour integrals along simply closed contours whose interior and exterior contain non-isolated singular points of the function being integrated. The second part of the book begins with the presentation of some specific functions and function spaces. Introductory concepts necessary for the subsequent sections are covered, where distributions, Fourier series, Fourier and Laplace transform along with their main applications are studied. The last chapter deals with the mathematical foundation of quantum mechanics, namely Hilbert spaces along with the related Dirac formalism and the linear operators acting on these spaces. This material is presented in more detail than what can be found in most quantum mechanics books, addressing some subtle issues that are often not covered there mainly for practical reasons.