Εισαγωγή στην Τοπολογία των Μετρικών Χώρων

Abstract

Σκοπός του παρόντος συγγράμματος είναι να εισαγάγει τον αναγνώστη, που έχει τις βασικές γνώσεις Απειροστικού Λογισμού, στη θεωρία των μετρικών χώρων σε θεωρητικό και πρακτικό επίπεδο. Στο Κεφάλαιο 1 δίνεται ο ορισμός του μετρικού χώρου και παρουσιάζεται πληθώρα παραδειγμάτων. Κεντρική θέση κατέχουν οι μετρικές που επάγονται από νόρμες. Στο Κεφάλαιο 2 μελετάται η σύγκλιση ακολουθιών σε μετρικούς χώρους. Στο Κεφάλαιο 3 ορίζεται και μελετάται η συνέχεια, καθώς και η ομοιόμορφη συνέχεια συναρτήσεων μεταξύ μετρικών χώρων. Το Κεφάλαιο 4 περιέχει τις βασικές τοπολογικές έννοιες σε μετρικούς χώρους (ανοικτό σύνολο, εσωτερικό συνόλου, κλειστό σύνολο, κλειστή θήκη συνόλου, παράγωγο σύνολο), καθώς και τους χαρακτηρισμούς της συνέχειας συνάρτησης με χρήση τοπολογικών εννοιών. Στο Κεφάλαιο 5 μελετώνται οι ομοιομορφισμοί μετρικών χώρων, οι ισοδύναμες μετρικές και τα σχετικά ανοικτά και σχετικά κλειστά υποσύνολα ενός υποσυνόλου σε έναν μετρικό χώρο. Στο Κεφάλαιο 6 παρουσιάζονται οι πλήρεις μετρικοί χώροι και κάποια βασικά θεωρήματα σε αυτούς. Το Κεφάλαιο 7 είναι αφιερωμένο στη μελέτη της έννοιας της συμπάγειας. Στο Κεφάλαιο 8 μελετάται η έννοια της συνεκτικότητας σε μετρικούς χώρους. Το Κεφάλαιο 9 είναι αφιερωμένο στους χώρους συναρτήσεων και περιέχει μεταξύ άλλων το Θεώρημα Stone-Weierstrass. Στο Κεφάλαιο 10 περιέχονται επιπρόσθετα θέματα που δεν έχουν καλυφθεί στα προηγούμενα κεφάλαια (πλήρωση μετρικού χώρου, το σύνολο Cantor, Θεώρημα Tietze για μετρικούς χώρους, ταλάντωση συνάρτησης σε σημείο). Το Κεφάλαιο 11 περιέχει τις λύσεις των ασκήσεων (μαζί με τις εκφωνήσεις τους) που υπήρχαν στο τέλος καθενός από τα προηγούμενα κεφάλαια.

This book aims to provide a comprehensive introduction to the theory of metric spaces from both a theoretical and applied perspective. It is addressed to those who possess a basic background in Infinitesimal Calculus. In Chapter 1, the definition of a metric space is provided along with many examples, with the key feature element therein being the metrics induced by norms. In Chapter 2, the convergence of sequences in metric spaces is under study, whereas Chapter 3 provides a rigorous treatment of continuity and uniform continuity of functions between metric spaces. Chapter 4 covers the basic topological concepts in metric spaces (open set, interior of a set, closed set, closure of a set, derived set) and provides characterisations of the continuity of a function via topological arguments. Chapter 5 deals with homeomorphisms between metric spaces, equivalent metrics and the relatively open and relatively closed subsets of a subset in a metric space. Chapter 6 is concerned with the study of complete metric spaces and some basic relevant theorems. Chapters 7 and 8 are dedicated to the study of the notions of compactness and connectedness in metric spaces, respectively. Chapter 9 is concerned with function spaces and contains, among others, the Stone-Weierstrass Theorem. Chapter 10 addresses additional topics that have not been treated in the preceding chapters (completion of a metric space, the Cantor set, Tietze's Theorem for metric spaces, and oscillation of a function around a point). Finally, Chapter 11 provides the solutions to the exercises presented at the end of each of the previous chapters.