Μη Παραμετρική Στατιστική

Abstract

Στο παρόν σύγγραμμα γίνεται μία εισαγωγή σε μεθόδους της Μη Παραμετρικής Στατιστικής. Αναπτύσσονται τα κατάλληλα μαθηματικά εργαλεία πολυδιάστατης και ασυμπτωτικής στατιστικής, όπως τα τυχαία διανύσματα και οι ακολουθίες τυχαίων διανυσμάτων, και παρουσιάζονται ασυμπτωτικές ιδιότητες εκτιμητριών και μέθοδοι εύρεσης ασυμπτωτικών κατανομών. Τα προαναφερθέντα επεκτείνονται και σε στοχαστικές διαδικασίες και ακολουθίες στοχαστικών διαδικασιών, δίνοντας κάποια απαραίτητα στοιχεία ισχυρής και ασθενούς σύγκλισης και σε αυτό το πλαίσιο. Έτσι επιτυγχάνεται βαθύτερη κατανόηση της εμπειρικής συνάρτησης κατανομής και των εμπειρικών διαδικασιών που βρίσκονται στην «καρδιά» της ανάπτυξης της μη Παραμετρικής Στατιστικής και των ελέγχων Kolmogorov-Smirnov και Cramér-von Mises. Παρουσιάζεται με ιδιαίτερη λεπτομέρεια το θεώρημα Glivenko-Cantelli, αλλά δίνονται επίσης ρυθμοί σύγκλισης και μέθοδοι κατασκευής λωρίδων εμπιστοσύνης με τη βοήθεια της εμπειρικής συνάρτησης κατανομής. Μέσα από την παρουσίαση σημαντικών στοχαστικών διαδικασιών, όπως των Γκαουσιανών και της γέφυρας Brown, προβάλλεται η σύγκλιση της εμπειρικής διαδικασίας στη γέφυρα Brown. Παρόλο που η έμφαση δίνεται στην ασυμπτωτική θεωρία, παρουσιάζεται και το θέμα εύρεσης της ακριβούς κατανομής των Kolgomorov-Smirnov. Δύο κεφάλαια του βιβλίου περιγράφουν κάποιους κλασικούς μη παραμετρικούς ελέγχους, όπως τον έλεγχο χ2 και τις διάφορες παραλλαγές του, όπως επίσης και τους ελέγχους Kolmogorov-Smirnov, Cramér-von Mises, Mann-Whitney, Wilcoxon, Shapiro-Wilk και άλλους. Τα δύο τελευταία κεφάλαια του βιβλίου ασχολούνται με τη μη παραμετρική εκτίμηση πυκνότητας και τη μέθοδο Bootstrap, συμπεριλαμβάνοντας και τη μέθοδο Jackknife. Αξιοσημείωτο χαρακτηριστικό της συγγραφικής αυτής προσπάθειας είναι ότι, ενώ δίνεται έμφαση στη μαθηματική ανάπτυξη της θεωρίας, γίνεται συνδυαστικά συστηματική χρήση του λογισμικού R (με ελεύθερο κώδικα) για την καλύτερη κατανόηση της θεωρίας σε προσομοιωμένα, αλλά και σε πραγματικά δεδομένα.

This book presents an introduction to methods of Nonparametric Statistics. The necessary mathematical tools of multivariate and asymptotic statistics are developed, such as random vectors and sequences of random vectors, and asymptotic properties of estimators and methods of deriving asymptotic distributions are developed. The aforementioned topics are extended also for stochastic processes and sequences of stochastic processes, giving the necessary background for strong and weak convergence in that framework. In this way, a deeper understanding of the empirical distribution function and of the empirical processes is achieved, which are in the core of the development of Nonparametric Statistics and the Kolmogorov-Smirnov and Cramér-von Mises tests. The theorem of Glivenko-Cantelli is presented in great detail and convergence rates and methods of constructing confidence bands with the help of the empirical distribution function are also given. Through the presentation of important stochastic processes, such as the Gaussian ones and the Brown bridge, the convergence of the empirical process to the Brown bridge is presented. Despite the focus on the asymptotic theory, the topic of the exact distribution of the Kolmogorov-Smirnov statistic is also described. Two chapters of the book describe some classic nonparametric tests, such as the chi-square test and some of its variants, as well as the Kolmogorov-Smirnov, the Cramér-von Mises, the Mann-Whitney, the Wilcoxon, the Shapiro-Wilk and others. The last two chapters of the books deal with the topics of nonparametric density estimation and the Bootstrap method, including also the Jackknife one. A notable characteristic of this book is the combination of a rigorous mathematical framework with a systematic use of the R software (with free accessible code) for a better understanding of the theory with simulated, but also with real data.