Διακριτά Μαθηματικά

Abstract

Το βιβλίο προσφέρει μια εμπεριστατωμένη ανάλυση στον κόσμο των Διακριτών Μαθηματικών μέσα από τη σκοπιά της Θεωρητικής Πληροφορικής. Το Κεφάλαιο 1 αποτελεί εισαγωγή. Στο Κεφάλαιο 2 εξετάζονται τα «Στοιχεία Προτασιακής Λογικής», περιλαμβάνοντας έννοιες όπως τις μαθηματικές προτάσεις και τους προτασιακούς τύπους. Το Κεφάλαιο 3 είναι αφιερωμένο στα «Στοιχεία Κατηγορηματικής Λογικής», στο οποίο εξετάζονται μεταξύ άλλων το συντακτικό και η δομή πρωτοβάθμιας γλώσσας και η σημασιολογική προσέγγιση. Στο Κεφάλαιο 4, «Σύνολα και Διαδικασίες Απαρίθμησης», αναλύονται οι βασικές έννοιες των συνόλων, όπως οι διαδικασίες απαρίθμησης και η μη υπολογισιμότητα. Ακολουθεί το κεφάλαιο των «Σχέσεων», στο οποίο εξετάζονται θέματα όπως οι βασικοί ορισμοί, αναπαράσταση σχέσεων, ιδιότητες διμελών σχέσεων και σχέσεις ισοδυναμίας. Στο επόμενο κεφάλαιο με τίτλο «Αποδεικτικές Τεχνικές», παρουσιάζονται τεχνικές απόδειξης, όπως οι αποδείξεις ύπαρξης, η αρχή του περιστερώνα και η μαθηματική επαγωγή. Τα κεφάλαια για τη «Θεωρία Γραφημάτων» και τα «Δέντρα» προσφέρουν στον αναγνώστη ορολογία, ορισμούς και χαρακτηριστικά των αντίστοιχων θεμάτων. Ακολουθεί το κεφάλαιο «Συνδυαστική Απαρίθμηση», που περιλαμβάνει ανάλυση της αρχής εγκλεισμού-αποκλεισμού, του κανόνα γινομένου-αθροίσματος και άλλων εννοιών της Συνδυαστικής. Στα κεφάλαια για τις «Γεννήτριες Συναρτήσεις» και τις «Αναδρομικές σχέσεις» εξετάζονται βασικές ιδιότητες και σχετικές εφαρμογές αντίστοιχα, όπως ο υπολογισμός αθροισμάτων, η χρήση γεννητριών συναρτήσεων για επίλυση προβλημάτων Συνδυαστικής, η επίλυση μη αναδρομικών σχέσεων κ.ά. Το βιβλίο ολοκληρώνεται με το κεφάλαιο «Θεωρία Αριθμών», στο οποίο παρουσιάζονται θέματα όπως η διαιρετότητα, ο Μέγιστος Κοινός Διαιρέτης και η Θεωρία Ομάδων. Κάθε κεφάλαιο συμβάλλει εξίσου στη συνολική κατανόηση του περιεχομένου, παρέχοντας ένα πλήρες εισαγωγικό ταξίδι στην περιοχή των Διακριτών Μαθηματικών.

This book offers a comprehensive analysis of the topic of Discrete Mathematics from the perspective of Theoretical Computer Science. The Chapter 1 is an introduction. The Chapter 2 examines "Elements of Propositional Logic," including concepts such as mathematical propositions and propositional types. The Chapter 3 is dedicated to "Elements of Predicate Logic," addressing topics such as syntax and the structure of first-order language and semantic approaches. In the Chapter 4, "Sets and Enumeration Methods," fundamental concepts of sets are analyzed, including enumeration methods and non-computability. This is followed by the Chapter on "Relations," covering topics such as basic definitions, representation of relations, properties of binary relations, and equivalence relations. The following Chapters include the "Proof Techniques" chapter, presenting proof techniques such as proofs of existence, Pigeonhole principle and mathematical induction. The Chapters on "Graph Theory" and "Trees" provide the reader with terminology, definitions, and characteristics of the respective topics. Next follows the Chapter on “Enumerative Combinatorics” analyzing principles such as inclusion-exclusion, the product-sum rule, and other combinatorial concepts. The Chapters on "Generating Functions" and "Recurrence Relations" examine basic properties and relevant applications, such as computing sums, using generating functions to solve combinatorial problems, and solving non-recursive relations, among others. The book concludes with the Chapter on "Number Theory," covering topics such as divisibility, the Greatest Common Divisor, and Group Theory. Each chapter contributes equally to the overall understanding of the content, providing a comprehensive introductory journey into the field of Discrete Mathematics.