Εισαγωγή στη Θεωρία Μεγάλων Αποκλίσεων

Abstract

Στη Θεωρία Πιθανοτήτων είναι συνηθισμένο να παρατηρούμε συγκέντρωση της κατανομής τυχαίων μεταβλητών γύρω από μια τυπική τιμή, στο όριο κάποιας παραμέτρου του προβλήματος. Ένα χαρακτηριστικό παράδειγμα είναι ο νόμος των μεγάλων αριθμών, όπου η κατανομή του μέσου όρου ανεξάρτητων, ισόνομων τυχαίων μεταβλητών συγκεντρώνεται γύρω από τη μέση τιμή τους, καθώς το πλήθος τους τείνει στο άπειρο. Οποτεδήποτε έχουμε μια ασυμπτωτικά τυπική συμπεριφορά, έχει νόημα να ρωτήσουμε ποιες είναι οι τυπικές διακυμάνσεις γύρω από αυτή και ποια είναι η πιθανότητα να δούμε μια μεγάλη (μη τυπική) απόκλιση από αυτήν τη συμπεριφορά. Αυτό το τελευταίο ερώτημα, δηλαδή η ασυμπτωτική ανάλυση σπάνιων ενδεχομένων και οι συνέπειές της, είναι το κεντρικό θέμα στη Θεωρία των Μεγάλων Αποκλίσεων. Περισσότερο από μια περιοχή της Θεωρίας Πιθανοτήτων, η Θεωρία των Μεγάλων Αποκλίσεων είναι ένα σύνολο από αρχές, ιδέες και εργαλεία τα οποία μπορούν να χρησιμοποιηθούν σε διαφορετικές περιοχές της Θεωρίας Πιθανοτήτων και, με αυτήν την έννοια, τη διατρέχουν οριζόντια. Σκοπός του παρόντος συγγράμματος είναι να εισαγάγει τον αναγνώστη σε αυτήν τη θεωρία αλλά και να αναδείξει τις πολλές εφαρμογές που έχει, οι οποίες εκτείνονται ακόμα και σε άλλες επιστήμες.

It is common in Probability Theory that the distribution of random variables concentrates around a typical value, in the limit of some parameter. A classic example is the law of large numbers, by which the average of independent, identically distributed random variables concentrates around their common mean, as their number tends to infinity. Whenever we can infer an asymptotically typical behaviour, it is natural to ask about typical fluctuations, as well as the probability to observe a large deviation from the typical behaviour. This question, that is the asymptotic analysis of rare events and its consequences, is the central question of the Theory of Large Deviations. More than an area of Probability Theory, the Theory of Large Deviations is a set of principles, ideas and tools that can be useful in very diverse areas of Probability, and, in this sense it intersects most areas of Probability Theory. The aim of this book is to introduce the reader to the Theory of Large Deviations, as well as to showcase its many applications, which even extend to other scientific disciplines.