Διαφόριση

Abstract

Το κεφάλαιο αυτό μαζί με το επόμενο αποτελούν τον κορμό του βιβλίου. <br/><br/>Εισάγονται οι έννοιες της μερικής παραγώγου, της παραγώγου και της παραγώγου κατά κατεύθυνση. Τονίζεται ιδιαίτερα η διαφορά μεταξύ της διαφόρισης (παραγώγισης) μιας συνάρτησης πολλών μεταβλητών με αυτήν μιας συνάρτησης μίας μεταβλητής, που είναι η διαφορά μεταξύ της ύπαρξης μερικών παραγώγων και της ύπαρξης παραγώγου. <br/><br/>Οι έννοιες αυτές ερμηνεύονται και γεωμετρικά (κλίση, εφαπτόμενο επίπεδο, καμπύλη στάθμης), και στη συνέχεια επεκτείνονται με τα θέματα των μερικών παραγώγων ανώτερης τάξης, του Θεωρήματος Taylor για περισσότερες μεταβλητές, <br/>τη μελέτη πραγματικών συναρτήσεων πολλών μεταβλητών (εύρεση σημείων ακροτάτων και ακροτάτων υπό συνθήκη), <br/>και τις έννοιες των πεπλεγμένων συναρτήσεων και της αντίστροφης διανυσματικής συνάρτησης. <br/><br/>Ιδιαίτερη αναφορά γίνεται στις καμπύλες (διανυσματικές συναρτήσεις μίας μεταβλητής) και στους διαφορικούς τελεστές, που οδηγούν σε μια πρώτη αναφορά μερικών διαφορικών εξισώσεων.

This chapter, along with the next, forms the core of the book. The concepts of partial derivatives, derivatives, and directional derivatives are introduced. Special emphasis is placed on the difference between differentiating a function of several variables and a function of a single variable, highlighting the distinction between the existence of partial derivatives and the existence of the derivative. These concepts are also interpreted geometrically (gradient, tangent plane, level curve) and are then extended to topics such as higher-order partial derivatives, Taylor's theorem for several variables, the study of real functions of several variables (finding local extrema and constrained extrema), and the concepts of implicit functions and inverse vector functions. Special attention is given to curves (vector functions of one variable) and differential operators, leading to an initial discussion of partial differential equations.