Όριο και συνέχεια συναρτήσεων

Abstract

Στο κεφάλαιο εισάγονται καταρχήν οι έννοιες της πραγματικής και της διανυσματικής συνάρτησης πολλών μεταβλητών, καθώς και οι έννοιες του ορίου και της συνέχειας των συναρτήσεων αυτών.<br/><br/>Εισαγωγικά αναλύεται η έννοια της συνάρτησης με πολλά παραδείγματα από τις εφαρμογές στις φυσικές επιστήμες.<br/><br/>Έπειτα το κεφάλαιο πραγματεύεται την έννοια του ορίου και της συνέχειας πραγματικών συναρτήσεων, όπου χρησιμοποιούνται οι έννοιες του πρώτου κεφαλαίου της σύγκλισης ακολουθίας, δίνεται ο λεγόμενος "ε-δ-ορισμός",<br/>και τονίζονται οι αναλογίες αλλά κυρίως οι διαφορές με την έννοια του ορίου και της συνέχειας πραγματικών συναρτήσεων μίας μεταβλητής, οι οποίες προκύπτουν από τις περισσότερες διαστάσεις του χώρου στον οποίο βρίσκεται το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων αυτών. <br/><br/>Στηριζόμενοι στις σχετικές έννοιες για πραγματικές συναρτήσεις πολλών μεταβλητών θεμελιώνουμε έπειτα τις αντίστοιχες για διανυσματικές, τονίζοντας πώς από τις πρώτες προκύπτουν οι δεύτερες μέσω των συνιστωσών των τελευταίων.

In this chapter, the concepts of real and vector functions of several variables are initially introduced, as well as the concepts of limit and continuity of these functions. The chapter begins with an analysis of the concept of a function, accompanied by numerous examples from applications in the physical sciences. Next, the chapter addresses the concept of the limit and continuity of real functions. It uses concepts from the first chapter, such as sequence convergence, and provides the so-called "ε-δ definition." The analogies, but more importantly, the differences between the limit and continuity of real functions of one variable and those of several variables, which arise due to the higher dimensions of the space in which the functions' domain resides, are emphasized. Building on the relevant concepts for real functions of several variables, we then establish the corresponding concepts for vector functions, highlighting how the latter are derived from the former through their components.