Ο n-διάστατος Ευκλείδειος χώρος

Abstract

Στο κεφάλαιο αυτό εισάγεται η έννοια του Ευκλείδειου n-διάστατου χώρου, με τις αλγεβρικές, γεωμετρικές και τοπολογικές ιδιότητες που τον χαρακτηρίζουν. Πιο συγκεκριμένα εισάγονται<br/><br/>1. η αλγεβρική δομή του χώρου ως διανυσματικού χώρου πάνω από τους πραγματικούς αριθμούς,<br/>2. το εσωτερικό γινόμενο στον χώρο αυτό,<br/>3. η Ευκλείδεια νόρμα που επάγει το εσωτερικό γινόμενο,<br/>4. η μετρική που επάγει η Ευκλείδεια νόρμα,<br/>5. οι τοπολογικές ιδιότητες του μετρικού χώρου (ανοικτά, κλειστά, φραγμένα και συμπαγή υποσύνολά του),<br/>6. η έννοια μιας ακολουθίας διανυσμάτων,<br/>7. η έννοια της σύγκλισης ακολουθιών διανυσμάτων και όλα τα σχετικά συμπεράσματα. <br/><br/>Κατά την εισαγωγή των εννοιών αφενός τονίζεται η αναλογία τους με τις ειδικότερες αντίστοιχές τους στην πραγματική ευθεία, οι οποίες είναι γνωστές στους φοιτητές, και επισημαίνεται αφετέρου το ότι είναι ένα παράδειγμα γενικότερων εννοιών π.χ. της Γραμμικής Άλγεβρας, της Τοπολογίας Μετρικών Χώρων, και της Συναρτησιακής Ανάλυσης.

In this chapter, the concept of the 𝑛 n-dimensional Euclidean space is introduced, along with the algebraic, geometric, and topological properties that characterize it. More specifically, the following are introduced: The algebraic structure of the space as a vector space over the real numbers, The inner product in this space, The Euclidean norm induced by the inner product, The metric induced by the Euclidean norm, The topological properties of the metric space (open, closed, bounded, and compact subsets), The concept of a sequence of vectors, The concept of convergence of sequences of vectors and all related conclusions. While introducing these concepts, their analogy to their more specific counterparts on the real line, which are familiar to students, is emphasized. Additionally, it is highlighted that these are examples of more general concepts, such as those in Linear Algebra, the Topology of Metric Spaces, and Functional Analysis.