Μιγαδική Ανάλυση

Abstract

Το παρόν σύγγραμμα περιέχει την κλασική ύλη, τουλάχιστον ως προς το μεγαλύτερό της μέρος, μίας εισαγωγής στη Μιγαδική Ανάλυση, η οποία διδάσκεται, συνήθως, σε ένα εξαμηνιαίο προπτυχιακό μάθημα σε Τμήματα Μαθηματικών. Στο πρώτο κεφάλαιο εισάγεται το σώμα των μιγαδικών αριθμών, καθώς και η αναπαράστασή του, μέσω του μιγαδικού επιπέδου, ως επέκταση του σώματος των πραγματικών, και παρουσιάζονται οι σχετικές αλγεβρικές και γεωμετρικές ιδιότητές του. Επίσης, μελετώνται οι συναρτήσεις ακέραιας δύναμης και η εκθετική συνάρτηση, καθώς και οι αντίστροφές τους. Στο δεύτερο κεφάλαιο εισάγεται η τοπολογία του μιγαδικού επιπέδου και μελετώνται τα όρια ακολουθιών και μιγαδικών συναρτήσεων, καθώς και η συνέχεια των τελευταίων. Το τρίτο κεφάλαιο πραγματεύεται την έννοια της μιγαδικής διαφορισιμότητας (ολομορφίας) μιας μιγαδικής συνάρτησης και τη σχέση της με τη διαφορισιμότητα του αντίστοιχου διανυσματικού πεδίου στον διδιάστατο Ευκλείδειο χώρο. Παρουσιάζονται, επίσης, κάποια βασικά στοιχεία για σύμμορφες απεικονίσεις, καθώς και οι απαιτούμενες έννοιες για καμπύλες στο επίπεδο. Το τέταρτο κεφάλαιο έχει ως αντικείμενό του τις δυναμοσειρές. Αποδεικνύεται η ολομορφία τους και εισάγεται η έννοια της αναλυτικής συνάρτησης, ως μίας συνάρτησης που αναπτύσσεται τοπικά σε δυναμοσειρά και είναι, συνεπώς, ολόμορφη. Επιπρόσθετα, δίνονται τα αναπτύγματα σε δυναμοσειρές των βασικότερων συναρτήσεων. Στο πέμπτο κεφάλαιο μελετώνται τα επικαμπύλια ολοκληρώματα μιγαδικών συναρτήσεων και παρουσιάζεται η ολοκληρωτική θεωρία του Cauchy, καταλήγοντας στο Θεώρημα Αναπαράστασης Cauchy-Taylor (εν συντομία: οι ολόμορφες συναρτήσεις είναι αναλυτικές) και στις συνέπειές του. Τέλος, το έκτο κεφάλαιο έχει ως αντικείμενό του τις μεμονωμένες ανωμαλίες, τις σειρές Laurent, καθώς και τα ολοκληρωτικά υπόλοιπα και τις εφαρμογές τους.

The present textbook contains, at least to a big extent, the standard topics of an introduction to Complex Analysis that are usually taught in a one-semester undergraduate course for Mathematics students. In the first chapter the field of complex numbers as well as its representation by the complex plane is introduced as an extension of the field of the real numbers, and the related algebraic and geometric properties are presented. Also, the functions of integer power and the exponential function as well as their inverse functions are studied. In the second chapter the topology of the complex plane is introduced and the limits of sequences and functions are discussed as well as the continuity of the latter. The third chapter addresses the notion of complex differentiability (holomorphy) of a complex function and its relation to the differentiability of the corresponding vector field in the two-dimensional Euclidean space. Some basic facts about conformal mappings are also presented as well as the needed notions about curves in the plane. The subject of the fourth chapter are power series. Their holomorphy is proven and the notion of an analytic function as a function that can be expanded locally into a power series is introduced, implying thus its holomorphy. Also, the expansions into power series for the most fundamental functions are given. In the fifth chapter the contour (aka line or path) integrals of complex functions are studied and Cauchy’s integration theory is presented, culminating in the Representation Theorem of Cauchy-Taylor (in short: holomorphic functions are analytic) and its consequences. Finally, the sixth chapter is concerned with isolated singularities, Laurent series and residues and their applications.