Αριθμητική Ανάλυση

Abstract

Το βιβλίο αποτελείται από δύο μέρη. Στο Α΄ μέρος αναφέρουμε μερικές βασικές έννοιες από τη γραμμική άλγεβρα, καθώς αυτές αποτελούν τη βάση αυτών που θα εξετάσουμε. Μελετούμε την αριθμητική επίλυση ενός γραμμικού συστήματος με τετραγωνικό πίνακα χρησιμοποιώντας άμεσες μεθόδους, οι οποίες υπολογίζουν την ακριβή λύση σε ένα προκαθορισμένο αριθμό βημάτων, τον οποίο γνωρίζουμε εκ των προτέρων. Επίσης, μελετούμε επαναληπτικές μεθόδους, όπου κατασκευάζουμε μια ακολουθία διανυσμάτων, η οποία συγκλίνει στη λύση του γραμμικού συστήματος. Επιπλέον, εξετάζουμε γραμμικά συστήματα με μη τετραγωνικό πίνακα, τα οποία δεν έχουν λύση, όπου αναζητούμε διανύσματα που ελαχιστοποιούν μια κατάλληλη απόσταση. Στη συνέχεια ασχολούμαστε με το πρόβλημα εντοπισμού των ιδιοτιμών ενός πίνακα και εξετάζουμε μεθόδους για την επίλυση μη γραμμικών εξισώσεων και συστημάτων. Στο Β΄ μέρος ασχολούμαστε με την αριθμητική επίλυση προβλημάτων αρχικών τιμών (Π.Α.Τ.) για συστήματα πρώτης τάξης συνήθων διαφορικών εξισώσεων. Η πιο απλή αριθμητική μέθοδος για την επίλυση του προβλήματος αρχικών τιμών (Π.Α.Τ.) είναι η μέθοδος του Euler. Επίσης, θεωρούμε και άλλες μονοβηματικές μεθόδους, και γενικότερα τις μεθόδους Runge-Kutta. Επιπρόσθετα, μελετούμε τις γραμμικές πολυβηματικές μεθόδους. Η υλοποίησή τους είναι οικονομική και για αυτόν τον λόγο εμφανίστηκαν και εφαρμόστηκαν πριν την εμφάνιση των υπολογιστών. Μελετούμε την ευστάθεια, τη συνέπεια, την τάξη ακρίβειας και τη σύγκλιση αυτών των μεθόδων. Οι πεπλεγμένες μέθοδοι Runge-Kutta είναι πιο απαιτητικές στην υλοποίησή τους από τις άμεσες μεθόδους Runge-Kutta και από τις πολυβηματικές μεθόδους. Όμως, έχουν υψηλή τάξη ακρίβειας και εξαιρετικές ιδιότητες ευστάθειας. Ακόμα, θεωρούμε άκαμπτες γραμμικές διαφορικές εξισώσεις. Ορισμένες αριθμητικές μέθοδοι είναι ασταθείς και χρειάζονται μικρό σχετικό βήμα για να μπορέσουν να προσεγγίσουν την ακριβή λύση αυτών των προβλημάτων. Αυτή η ιδιότητα ευστάθειας, που σχετίζεται με την προσεγγιστική λύση μιας μεθόδου για ένα άκαμπτο πρόβλημα διαφορικών εξισώσεων, ονομάζεται απόλυτη ευστάθεια.

The book consists of two parts. In Part A we review some basic concepts from linear algebra, as these form the basis of what we will be looking at. We study the numerical solution of a linear system with a square matrix using direct methods, which compute the exact solution in a predetermined number of steps, known in advance. We also study iterative methods, where we construct a sequence of vectors that converge to the solution of the linear system. In addition, we consider linear systems with a non-square matrix, where we search for vectors that minimise an appropriate function, like e.g., a residual. We then address the problem of locating the eigenvalues of a matrix and consider methods for solving nonlinear equations and systems. Part B deals with the numerical solution of initial value problems (I.V.P.) for first-order systems of ordinary differential equations. The simplest numerical method for solving the initial value problem (I.V.P.) is Euler's method. We also consider other single-step methods, and more generally the Runge-Kutta family of methods. We also study the linear multistep methods. Their implementation is economical, and this is why they appeared and were applied before the advent of computers. We study these methods' stability, consistency, accuracy, and order of convergence. The implicit Runge-Kutta methods are more demanding to implement than both explicit Runge-Kutta methods and multistep methods. However, they have higher accuracy and excellent stability properties. We also consider stiff linear differential equations. Some numerical methods are unstable and require a small step size to approximate well the exact solution of these problems. This stability property associated with the approximate solution of a method for a stiff differential equation problem is called absolute stability.