Στοιχεία από τη Γραμμική Άλγεβρα

Abstract

Η ύλη που καλύπτεται στο βιβλίο περιλαμβάνει τους μιγαδικούς αριθμούς, με έμφαση στη γεωμετρική αναπαράσταση, τις ιδιότητές τους, με εκτεταμένη αναφορά στις ρίζες της μονάδας και στο Θεμελιώδες Θεώρημα της Άλγεβρας. Ακολουθεί κεφάλαιο αφιερωμένο στην άλγεβρα των πινάκων, ενώ στη συνέχεια εξετάζονται η μέθοδος απαλοιφής του Gauss και οι εφαρμογές της. Ξεχωριστό κεφάλαιο ασχολείται με τη μελέτη των ιδιοτήτων των οριζουσών των τετραγωνικών πινάκων, ενώ ακολουθεί κεφάλαιο για την επίλυση των γραμμικών συστημάτων. Οι διανυσματικοί χώροι Rn μελετώνται με έμφαση στον R2 και στον R3 και δίνονται προσεκτικά οι ορισμοί των ευθειών και των επιπέδων στον Rn. Οι λύσεις των γραμμικών συστημάτων ερμηνεύονται στον R2 και στον R3, με έμφαση πάντα στη γεωμετρική εποπτεία. Ακολουθούν το κεφάλαιο των γραμμικών συναρτήσεων και τέλος το κεφάλαιο των ιδιοδιανυσμάτων, των ιδιοτιμών και της διαγωνιοποίησης πίνακα. Το σύγγραμμα ενσωματώνει τη χρήση του Mathematica σε ξεχωριστή ενότητα σε κάθε κεφάλαιο. Επιπλέον, σε κάθε κεφάλαιο υπάρχει ξεχωριστή ενότητα με πληθώρα λυμένων ασκήσεων, ενώ στο Παράρτημα δίνονται εκτεταμένες υποδείξεις για τις ασκήσεις. Η βιβλιογραφία στο τέλος κάθε κεφαλαίου μπορεί να χρησιμοποιηθεί για την εμβάθυνση των εννοιών. Στο τέλος του συγγράμματος έχει προστεθεί ευρετήριο όρων και συμβολισμών. Με αυτόν τον τρόπο, ο/η αναγνώστης/-ρια μπορεί να ανατρέχει σε ορισμούς και να διευκρινίζει έννοιες.

The textbook at first covers material on complex numbers, with an emphasis on their geometric representation, their properties, the roots of unity and the Fundamental Theorem of Algebra. Then, the algebra of matrices is covered, with a discussion of Gauss' elimination method and its applications. A separate chapter is devoted to the study of the determinants of square matrices, followed by a study of the solutions of linear systems. The vector space Rn is studied, in particular R2 and R3. The definitions of lines and planes in Rn are carefully given. The solutions of linear systems are interpreted in R2 and R3 always giving an emphasis to the geometric interpretation. A chapter discussing linear functions follows and finally a chapter on eigenvectors, eigenvalues and matrix diagonalization. The textbook incorporates the use of Mathematica in a separate section in each chapter. In addition, each chapter includes a separate section with a wealth of solved exercises, while extensive hints for the exercises are given in the Appendix. Each chapter has its own bibliography. An index of terms and symbols is included.