Introduction to Group Theory

Abstract

Το βιβλίο αναπτύσσει τη θεωρία των ομάδων και απευθύνεται σε αναγνώστες που δεν έχουν γνώσεις στο θέμα αυτό, καθώς και σε φοιτητές Μαθηματικών, Φυσικής, Χημείας και σε όλους όσους χρειάζονται τη Θεωρία Ομάδων για την εργασία τους. Παρουσιάζουμε τη βασική θεωρία των ομάδων και τους ομομορφισμούς ομάδων. Στη συνέχεια μελετάμε τη θεωρία των υποομάδων μιας ομάδας και ειδικά τις κυκλικές υποομάδες. Μελετάμε τις κανονικές υποομάδες και το πηλίκο. Αποδεικνύουμε τα θεωρήματα ισομορφισμού ομάδων, τα οποία παίζουν σημαντικό ρόλο στην ταξινόμηση των ομάδων, και ταξινομούμε τις κυκλικές ομάδες. Μελετάμε το άμεσο γινόμενο ομάδων και εξετάζουμε πότε μια ομάδα μπορεί να αποσυντεθεί σε άμεσο γινόμενο ορισμένων υποομάδων της. Στη συνέχεια αναπτύσσουμε τη θεωρία των ενεργειών μιας ομάδας σε ένα σύνολο, αποδεικνύουμε τα θεωρήματα Sylow και δίνουμε μερικές εφαρμογές στη Συνδυαστική Θεωρία. Η θεωρία αυτή παρέχει πολλές πληροφορίες για τη δομή μιας ομάδας, αλλά έχει και πολλές εφαρμογές σε άλλες επιστήμες. Δίνεται η ταξινόμηση των πεπερασμένων παραγόμενων αβελιανών ομάδων. Μελετάμε τις κανονικές σειρές ομάδων και ειδικότερα τις διαλυτές ομάδες, οι οποίες παίζουν σημαντικό ρόλο στη θεωρία της διαλυτότητας των αλγεβρικών εξισώσεων. Εφαρμόζουμε τις σειρές ομάδων σε απλές ομάδες και σε ομάδες μεταθέσεων. Τέλος, εξετάζουμε ομάδες μικρής τάξης και τάξης ίσης με το γινόμενο δύο πρώτων αριθμών. Στα παραρτήματα, περιλαμβάνουμε το απαραίτητο υλικό σχετικά με τη Θεωρία Συνόλων, τη Θεωρία Αριθμών, την Αφηρημένη Άλγεβρα και τη Γραμμική Άλγεβρα.

The book develops the theory of groups and addresses readers with no knowledge on this topic and to the students of Mathematics, Physics, Chemistry and to all those who need Group Theory for their work. We give the basic group theory and the group homomorphisms. In the sequel we study the theory of subgroups of a group and especially the cyclic subgroups. We study the normal subgroups and the quotient. We prove the group isomorphism theorems, which play an important role in the classification of groups, and we classify the cyclic groups.We study the direct product of groups and examine when a group can decompose into a direct product of some of its subgroups. In sequel we develop the theory of actions of a group on a set, we prove the Sylow Theorems and we give some applications in Combinatorial Theory. This theory gives much information about the structure of a group, but also has many applications to other sciences.The classification of finite generated abelian groups is given. We study the normal series of groups and in particular the solvable groups, which play an important role in the theory of the solvability of algebraic equations. We apply the group series to simple groups and to permutation groups. Finally we examine groups of small order and of order the product of two prime numbers. In the appendices, we include the necessary material on Set Theory, Number Theory, Abstract Algebra and Linear Algebra.