Η Μέθοδος της Ισογεωμετρικής Ανάλυσης

Abstract

Σκοπός του παρόντος συγγράμματος είναι η συνοπτική παρουσίαση της «Μεθόδου της Ισογεωμετρικής Ανάλυσης», η οποία αποτελεί επέκταση της γνωστής μεθόδου των πεπερασμένων στοιχείων, κυρίως με την εκτενή χρήση των NURBS. Από το 2008, δηλαδή τρία χρόνια μετά την πρώτη εμφάνιση της μεθόδου, έχουν υλοποιηθεί πολλά ευρωπαϊκά ερευνητικά προγράμματα και μερικά από αυτά έχουν καταλήξει σε ανοικτά λογισμικά, τα οποία σήμερα αποτελούν υλικό για την άσκηση φοιτητών/-τριών σε επίπεδο Master, διεθνώς. Επίσης, τα τελευταία χρόνια η ιδέα της ισογεωμετρικής ανάλυσης σιγά σιγά υιοθετείται από εξειδικευμένα ή/και γενικής χρήσης εμπορικά λογισμικά. Λόγω της φύσης του αντικειμένου της Ισογεωμετρικής Μεθόδου, απαιτείται τόσο επαρκής γνώση του CAD (Computer-Aided Design), όσο και γνώση της Μεθόδου των Πεπερασμένων Στοιχείων (FEM: Finite Element Method). Έτσι, τα πρώτα πέντε κεφάλαια του βιβλίου αφιερώνονται σε βασικές έννοιες της θεωρίας του CAD και ιδιαίτερα στη θεωρία περιγραφής καμπυλών, επιφανειακών χωρίων και του καρτεσιανού γινομένου για την περιγραφή επιφανειών και δομημένων όγκων. Χωρίς λεπτομερείς μαθηματικές αποδείξεις, κατεβλήθη ιδιαίτερη προσπάθεια, ώστε σε κάθε κεφάλαιο να παρέχεται η απολύτως απαραίτητη γνώση, με σκοπό την πρακτική εφαρμογή της Ισογεωμετρικής Ανάλυσης, και όχι το CAD αυτό καθεαυτό. Στο Κεφάλαιο 6 παρατίθενται κώδικες Η/Υ για τον προγραμματισμό των διαδικασιών, οι οποίες αναφέρθηκαν στα Kεφάλαια 1 έως και 5. Στα Kεφάλαια 7-12 γίνεται εκτενής εφαρμογή της Ισογεωμετρικής Μεθόδου στην επίλυση διαφορικών εξισώσεων μερικών παραγώγων πάσης φύσεως, ενώ στο Kεφάλαιο 13 παρατίθεται μια ιστορική επισκόπηση, η οποία καλύπτει τις απαρχές μέχρι και τις σύγχρονες τάσεις της Ισογεωμετρικής Μεθόδου. Αρχίζοντας από προβλήματα μίας διάστασης, εισάγονται οι πρωταρχικές έννοιες του μητρώου στιβαρότητας και του μητρώου μάζας. Καλύπτονται διαφορικές εξισώσεις δεύτερης τάξης, οι οποίες αφορούν τόσο προβλήματα πεδίου (μετάδοση Θερμότητας, διάδοση ήχου-Ακουστική), όσο και τη Στατική και Ελαστοδυναμική Ανάλυση Κατασκευών. Επίσης, καλύπτονται εξισώσεις τέταρτης τάξης, οι οποίες αφορούν την κάμψη δοκών και πλακών, καθώς και λεπτών κελυφών.

The purpose of this book is to briefly present the ‘Method of Isogeometric Analysis’ which is an extension of the well-known Finite Element Method mainly with the extensive use of NURBS. Since 2008, i.e. three years after the first appearance of the method, many European research projects have been implemented and some of them have resulted in open software which today constitutes material for the practice of students at the Master’s level, internationally. Also, in recent years the concept of isogeometric analysis is slowly being adopted by specialized and/or general-purpose commercial software. Due to the nature of the subject of Isogeometric Analysis, both sufficient knowledge of CAD (Computer-Aided Design) and knowledge of the Finite Element Method (FEM) are required. Thus, the first five chapters of the book are dedicated to basic concepts of CAD theory and especially to the theory of describing curves, surface areas (patches) and the Cartesian product (tensor product) for the description of surfaces and structured volumes (blocks). Without detailed mathematical proofs, special effort has been made to provide in each chapter the absolutely necessary knowledge for the practical application of Isogeometric Analysis, and not CAD per se. In Chapter 6, computer codes are listed for programming the procedures mentioned in Chapters 1 to 5. In Chapters 7-12, an extensive application of the Isogeometric Method is made in the solution of partial differential equations of all kinds, while in Chapter 13, a historical overview, which covers the beginnings up to the modern trends of the Isogeometric Method, is presented. Starting from one-dimensional problems, the primary concepts of the robustness matrix and the mass matrix are introduced. Second-order differential equations are covered, which concern both field problems (Heat transmission, sound propagation-Acoustics) and Static and Elastodynamic Analysis of Structures. Also, fourth-order equations are covered, which relate to the bending of beams and plates as well as thin shells.