Η μέθοδος των πεπερασμένων στοιχείων για την εξίσωση της θερμότητας

Abstract

Σε αυτό το κεφάλαιο μελετάμε μεθόδους πεπερασμένων στοιχείων για απλές παραβολικές εξισώσεις σε μια χωρική και μια χρονική μεταβλητή. Η έννοια του ημιδιακριτού προβλήματος, δηλαδή η διακριτοποίηση μόνο ως προς τις χωρική μεταβλητή. Ύπαρξη, μοναδικότητα της λύσης του ημιδιακριτού προβλήματος. Πλήρως διακριτο πρόβλημα: προκύπτει με τη διακριτοποίηση του ημιδιακριτου και ως προς το χρόνο. Μέθοδοι που εξετάζονται είναι η άμεση και η πεπλεγμένη μέθοδος του Euler και η μέθοδος των Crank-Nicolson. Επίσης παρουσιάζεται η ευστάθεια, η συνέπεια και εκτιμήσεις σφάλματος για αυτές τις μεθόδους.

In this chapter we study finite element methods for simple parabolic equations in one spatial and one time variable. We introduce the concept of the semi-discrete problem, i.e. the discretization only with respect to the spatial variable. We show existence and uniqueness of the solution of the semi-discrete problem. We obtain the fully discrete problem by discretizing the semi-discrete problem also in time. We consider the forward Euler method, the backward Euler method and the Crank-Nicolson method. We further show stability and consistency results and derive error estimates for these methods.