Η μέθοδος των πεπερασμένων στοιχείων για το πρόβλημα δύο σημείων

Abstract

Σε αυτό το κεφάλαιο θα γίνει μια εισαγωγή στη μέθοδο των πεπερασμένων στοιχείων. <br/><br/>Μεταβολική μορφή του προβλήματος δύο σημείων. Εσωτερικό γινόμενο σε χώρους συναρτήσεων. Νόρμες συναρτήσεων. Χώροι συναρτήσεων κατά τμήματα πολυωνυμικών συναρτήσεων και προσεγγιστικές ιδιότητες αυτών. <br/><br/>Εφαρμογή της μεθόδου για την προσέγγιση της λύσης διαφορικών εξισώσεων μιας μεταβλητής 2ης τάξεως με συνοριακές συνθήκες διαφόρων τύπων π.χ. Dirichlet, Neumann, Robin. Ύπαρξη της προσεγγιστικής λύσης. Εκτίμηση του σφάλματος. <br/><br/>Αυτό το πρόβλημα αποτελεί οδηγό για τη μελέτη, της προσέγγισης με τη μέθοδο των πεπερασμένων στοιχείων σε προβλήματα μερικών διαφορικών εξισώσεων.

In this chapter we present an introduction to the finite element method. We consider various norms of functions and inner product function spaces and the variational form of the two-point problem. Also, we consider function spaces of piecewise polynomial functions and show their approximation properties. We apply the finite element method for the approximation of the solution of second order differential equations in one variable, with various types of boundary conditions, e.g. Dirichlet, Neumann and Robin. We show existence of the approximate solution and derive an error estimation of the approximation. The analysis presented in this chapter is a guideline for the study of the finite element method to partial differential equation problems.