Θεωρία ομάδων

Abstract

Το σύγγραμμα απευθύνεται σε προπτυχιακούς φοιτητές Τμημάτων Μαθηματικών Πανεπιστημίων της ημεδαπής. Χρησιμοποιώντας την έννοια της δράσης επί συνόλου, αποδεικνύονται το Θεώρημα Burnside, τα κλασικά Θεωρήματα Sylow και εφαρμογές τους (επί παραδείγματι, η απλότητα της εναλλάσσουσας ομάδας 𝐴, για 𝑛≥5). Παρουσιάζεται η Εξίσωση των Κλάσεων και, ως εφαρμογή της, προσδιορίζεται η μέγιστη τιμή της πιθανότητας ώστε να μετατίθενται δύο στοιχεία μιας μη αβελιανής ομάδας τάξης 𝑛. Με την εισαγωγή της έννοιας του ευθέως γινομένου, ταξινομούνται οι πεπερασμένες αβελιανές ομάδες. Αναπτύσσεται η θεωρία Jordan–Hölder και, ως εφαρμογή της, παρουσιάζονται έννοιες από τη θεωρία των επιλύσιμων ομάδων. Αποδεικνύεται ενδελεχώς ότι κάθε ομάδα τάξης μικρότερης από 60 είναι επιλύσιμη. Το σύγγραμμα διαπραγματεύεται την έννοια της επέκτασης ομάδας, την ειδική περίπτωση του ημιευθέως γινομένου και, ως εφαρμογή, αποδεικνύεται ότι μια ομάδα τάξης 𝑛 είναι κυκλική αν και μόνο αν οι αριθμοί 𝑛 και 𝜑 (𝑛) (συνάρτηση Euler) είναι σχετικώς πρώτοι. Επιπλέον, ένα κεφάλαιο αναφέρεται στη στοιχειώδη θεωρία ομάδων με έμφαση στη θεωρία των συμμετρικών ομάδων 𝑆𝑛. Τέλος, σε ένα παράρτημα παρουσιάζονται ιστορικά στοιχεία της ταξινόμησης των πεπερασμένων απλών ομάδων.

The textbook is aimed at undergraduate students in the Mathematics Departments of domestic universities. Using the concept of group action on a set, Burnside’s Theorem, the classical Sylow Theorems, and their applications are proven (for example, the simplicity of the alternating group 𝐴𝑛, for 𝑛≥5). The Class Equation is presented, and as an application, the maximum probability that two elements of a non-abelian group of order 𝑛 commute is determined. By introducing the concept of the direct product, finite abelian groups are classified. The Jordan–Hölder theory is developed, and as an application, concepts from the theory of solvable groups are presented. It is thoroughly proven that every group of order less than 60 is solvable. The textbook discusses the concept of group extension, the special case of the semidirect product, and as an application, shows that a group of order 𝑛 is cyclic if and only if the numbers 𝑛 and 𝜑 (𝑛) (Euler’s totient function) are coprime. Additionally, one chapter covers elementary group theory with an emphasis on the theory of symmetric groups 𝑆𝑛. Finally, a historical appendix presents key developments in the classification of finite simple groups.