Εφαρμογές ολοκληρωμάτων

Abstract

Το ολοκλήρωμα, στις διάφορες μορφές του, είναι ο ελβετικός σουγιάς των φυσικών επιστημών. Σε αυτό το κεφάλαιο θα δούμε ένα μικρό μόνο μέρος των εφαρμογών που έχει η απλή μορφή του ολοκληρώματος που γνωρίσαμε στα προηγούμενα κεφάλαια, δηλαδή το ολοκλήρωμα Riemann. Αρχικά παρουσιάζουμε τα καταχρηστικά ολοκληρώματα (γνωστά στη βιβλιογραφία και ως γενικευμένα ολοκληρώματα). Κατόπιν δείχνουμε πώς μπορούμε να υπολογίσουμε το εμβαδόν χωρίων που έχουν οριστεί με χρήση πολικών συντεταγμένων. Το ολοκλήρωμα είναι τόσο ισχυρό εργαλείο, ώστε όχι μόνο μπορεί να υπολογίσει οποιοδήποτε εμβαδόν, αλλά μπορεί να υπολογίσει και όγκους ορισμένων στερεών, και συγκεκριμένα αυτών που έχουν δημιουργηθεί εκ περιστροφής. Ολοκληρώνουμε δείχνοντας πώς μπορεί να υπολογιστεί το μήκος καμπυλών που έχουν οριστεί σε παραμετρική μορφή.

The integral, in its various forms, is the Swiss Army knife of the natural sciences. In this chapter, we will look at just a small part of the applications of the simple form of the integral that we learned about in previous chapters, namely the Riemann integral. First, we present improper integrals (also known in the literature as generalized integrals). Then we show how we can calculate the area of regions defined using polar coordinates. The integral is such a powerful tool that it can not only calculate any area, but it can also calculate the volumes of certain solids, specifically those created by rotation. We conclude by showing how to calculate the length of curves defined in parametric form.