Εφαρμογές της παραγώγου

Abstract

Έχουν συγκεντρωθεί σε ένα κεφάλαιο μερικές από τις πιο κοινές εφαρμογές των παραγώγων. Μερικές από αυτές είναι γνωστές από το Λύκειο. Οι υπόλοιπες είναι καινούργιες: 1) Δείχνουμε πως μπορούμε να υπολογίσουμε εύκολα τις τιμές κάποιας συνάρτησης, προσεγγιστικά, βάσει των τιμών της συνάρτησης και της παραγώγου της σε ένα κοντινό σημείο. Στόχος είναι η αποσαφήνιση της γεωμετρικής ερμηνείας της παραγώγου. 2) Βλέπουμε την Μέθοδο του Νεύτωνα, ως μια ακόμα μέθοδο εντοπισμού ριζών, μετά την Μέθοδο της Διχοτόμησης. Η αντιπαραβολή των δύο μεθόδων έχει μεγάλη εκπαιδευτική αξία. 3) Εισάγεται η έννοια της Κυρτότητας, σύμφωνα με τον ευρέως αποδεκτό ορισμό (δηλαδή στις κυρτές συναρτήσεις οι χορδές βρίσκονται κάτω από το γράφημα της συνάρτησης. 4) Μελετούμε τον Κανόνα του Hospital.

Some of the most common applications of derivatives are summarized in one chapter. Some of them are familiar from high school. The rest are new: 1) We show how we can easily calculate the values of a function, approximately, based on the values of the function and its derivative at a nearby point. The aim is to clarify the geometric interpretation of the derivative. 2) We see Newton's method as another method of locating roots, after the bisection method. The comparison of the two methods has great educational value. 3) The concept of convexity is introduced, according to the widely accepted definition (i.e., in convex functions, the chords lie below the graph of the function). 4) We study Hospital's Rule.