Αριθμοί

Abstract

Το εισαγωγικό αυτό κεφάλαιο εξυπηρετεί δύο αλληλοκαλυπτόμενους σκοπούς. Πρώτον, θυμίζει στον αναγνώστη πολλές από τις γνώσεις που είναι προαπαιτούμενες σε ένα μάθημα Λογισμού συναρτήσεων μίας μεταβλητής, ιδιαιτέρως παρουσιάζοντας το συμβολισμό και τους ορισμούς που θα χρησιμοποιηθούν στη συνέχεια. Επειδή η ύλη είναι γνωστή από το Λύκειο, θα είμαστε αρκετά περιληπτικοί. Δεύτερον, αποτελεί σύντομη εισαγωγή στην αξιωματική θεμελίωση των πραγματικών αριθμών. Σε αντίθεση με τη συνήθη λυκειακή προσέγγιση, ξεκινάμε από ένα ελάχιστο πλήθος ιδιοτήτων που αποδεχόμαστε αξιωματικά, και κατόπιν δείχνουμε πώς μπορούμε να αποδείξουμε, βάσει αυτών, το σύνολο των γνωστών ιδιοτήτων των πραγματικών αριθμών. Ιδιαιτέρως, εισάγουμε την έννοια του supremum, που είναι απαραίτητη σε πολλά κρίσιμα σημεία της ανάπτυξης της θεωρίας, όπως, για παράδειγμα, στην απόδειξη του Θεωρήματος του Bolzano και στον ορισμό του ολοκληρώματος.

This introductory chapter serves two overlapping purposes. First, it reminds the reader of much of the knowledge that is prerequisite for a course in single-variable calculus, particularly by presenting the notation and definitions that will be used later on. Since the material is familiar from high school, we will be fairly concise. Second, it provides a brief introduction to the axiomatic foundation of real numbers. Contrary to the usual high school approach, we start with a minimal set of properties that we accept axiomatically, and then show how we can prove, based on these, the set of known properties of real numbers. In particular, we introduce the concept of supremum, which is necessary at many critical points in the development of the theory, such as in the proof of Bolzano's theorem and in the definition of the integral.