Δισδιάστατες Απεικονίσεις

Abstract

Στο κεφάλαιο αυτό διαπραγματευόμαστε διακριτά συστήματα σε δύο διαστάσεις. Μελετάμε τα σταθερά και περιοδικά σημεία, την ευστάθειά τους. Παρουσιάζονται τα κλασσικά συστήματα, όπως του Henon και της τυπικής απεικόνισης. Επίσης γίνεται μια αναλυτική μελέτη της απεικόνισης του πετάλου του Smale η οποία αποτελεί ένα μαθηματικό πρότυπο για την χαοτική ιδιότητα της εξέλιξης ενός συστήματος μέσα σε ένα ομοκλινικό πλέγμα. Επίσης με μια υπολογιστική προσέγγιση παρουσιάζουμε το ομοκλινικό πλέγμα γύρω από τα σάγματα μιας απεικόνισης. Περιλαμβάνει τα θέματα<br/>1. Γραμμικά συστήματα και γραμμική ευστάθεια σταθερών σημείων <br/>2. Η απεικόνιση του Henon και η τυπική απεικόνιση<br/>3. Το ομοκλινικό πλέγμα<br/>4. Το πέταλο του Smale

In this chapter, we discuss discrete systems in two dimensions. We study their fixed and periodic points, as well as their stability. Classic systems are presented, such as the Henon map and the standard map. Furthermore, we conduct an analytical study of the Smale horseshoe map, which serves as a mathematical model for the chaotic behavior of a system's evolution within a homoclinic tangle. Additionally, employing a computational approach, we present the homoclinic tangle around the singularities of a map. It includes the following topics: Linear systems and linear stability of fixed points. The Henon map and the standard map. The homoclinic tangle. The Smale horseshoe.