Introduction to Non-Linear Dynamical Systems

Abstract

Το βιβλίο αυτό αποτελεί μια εισαγωγή στη μελέτη των Μη Γραμμικών Συστημάτων και απευθύνεται σε προπτυχιακούς φοιτητές 3ου- 4ου έτους των Θετικών Επιστημών ή Μηχανικών. Επίσης θα μπορούσε να χρησιμοποιηθεί και ως βάση σε ένα αντίστοιχο μάθημα ενός Μεταπτυχιακού Προγράμματος Σπουδών. <br/> Το βιβλίο έχει ως στόχο να κατανοήσει ο φοιτητής τις βασικές μεθόδους που χρησιμοποιούμε στα δυναμικά συστήματα, τα όριά τους, την έννοια της ευστάθειας και ποιες είναι οι αναγκαίες συνθήκες για να παρουσιαστεί πολύπλοκη συμπεριφορά. Επειδή η αναλυτική μαθηματική προσέγγιση ενός δυναμικού συστήματος εν’ γένει είναι δύσκολη για ένα προπτυχιακό φοιτητή, εστιάζουμε σε υπολογιστικές τεχνικές. Χρησιμοποιούμε το Mathematica (ή το ελεύθερο λογισμικό Mathics) το οποίο συνδυάζει με εύκολο τρόπο αναλυτικούς και αριθμητικούς υπολογισμούς καθώς και γραφικά. <br/><br/> Το βιβλίο αρχικά διαπραγματεύεται απλά μηχανικά συστήματα και γενικότερα αυτόνομα συνεχή συστήματα σε δύο διαστάσεις. Περιγράφονται αναλυτικά τα βασικά σημεία της δυναμικής όπως, σημεία ισορροπίας, ευστάθεια, χαρακτηριστικά της τοπολογίας του χώρου φάσεων, διακλαδώσεις περιοδικές λύσεις και οριακοί κύκλοι. Τα χαρακτηριστικά αυτά περιγράφονται, κυρίως υπολογιστικά, και για συστήματα τριών διαστάσεων. Για τα μη αυτόνομα συστήματα, μένουμε στη μια διάσταση και σε συστήματα ταλαντωτών με εξωτερική περιοδική διαταραχή. Περιγράφονται οι πιθανές περιπτώσεις συμπεριφοράς (περιοδικές ή ημιπεριοδικές ταλαντώσεις, οριακοί κύκλοι, χαοτική συμπεριφορά) <br/><br/>Το δεύτερο μέρος του βιβλίου αναφέρεται σε διακριτά συστήματα μιας και δύο διαστάσεων. Μελετάμε τα σταθερά και περιοδικά τους σημεία καθώς και τη γραμμική<br/>τους ευστάθεια. Μέσα από κλασσικά συστήματα (όπως η λογιστική απεικόνιση) δείχνουμε τη μετάβαση από την τάξη στο χάος και δίνουμε την ιδιότητα του χάους με αυστηρό μαθηματικό ορισμό. Στο τέλος παρουσιάζουμε την απεικόνιση του πετάλου του Smale και την δημιουργία του ομοκλινικού πλέγματος σε διατηρητικές απεικονίσεις.

This book serves as an introduction to the study of Nonlinear Systems and is aimed at third- and fourth-year undergraduate students in the Physical Sciences or Engineering. It could also be used as a basis for a corresponding course in a Graduate Studies Program. The book's goal is to help students understand the basic methods used in dynamical systems, their limitations, the concept of stability, and the necessary conditions for complex behavior to occur. Since the analytical mathematical approach to a dynamical system is generally difficult for an undergraduate student, we focus on computational techniques. We use Mathematica (or the free software Mathics), which combines analytical and numerical calculations as well as graphics in an easy manner. The book initially deals with simple mechanical systems and more generally with autonomous continuous systems in two dimensions. The basic points of dynamics, such as equilibrium points, stability, characteristics of phase space topology, bifurcations, periodic solutions, and limit cycles, are described in detail. These characteristics are mainly described computationally for three-dimensional systems as well. For non-autonomous systems, we limit ourselves to one dimension and oscillator systems with external periodic disturbance. The possible behavioral cases (periodic or quasi-periodic oscillations, limit cycles, chaotic behavior) are described. The second part of the book refers to discrete systems in one and two dimensions. We study their fixed and periodic points as well as their linear stability. Through classic systems (such as the logistic map), we demonstrate the transition from order to chaos and provide the property of chaos with a rigorous mathematical definition. Finally, we present the Smale horseshoe mapping and the creation of the homoclinic tangle in conservative mappings.