Μια Εισαγωγή στη Γραμμική Άλγεβρα: Σημειώσεις Παραδόσεων

Abstract

Ο κύριος σκοπός του συγγράμματος είναι από τη μία πλευρά να παρουσιάσει αναλυτικά και με προσιτό τρόπο την ύλη ενός εισαγωγικού μαθήματος Γραμμικής Άλγεβρας, και από την άλλη πλευρά να εισαγάγει τον αναγνώστη και την αναγνώστρια σε περισσότερο προχωρημένα θέματα, τεχνικές και μεθόδους της Γραμμικής Άλγεβρας. Η ύλη η οποία αναπτύσσεται στο κείμενο υπερβαίνει κατά πολύ τη συνήθη ύλη που διδάσκεται σε δύο ή τρία τυπικά μαθήματα Γραμμικής Άλγεβρας σε ένα Τμήμα Μαθηματικών ενός ελληνικού πανεπιστημίου. Προς αυτή την κατεύθυνση έχει καταβληθεί προσπάθεια έτσι ώστε οι προαπαιτούμενες γνώσεις να περιοριστούν στο ελάχιστο δυνατό, και ο/η αναγνώστης/αναγνώστρια να εισαχθεί με προσιτό τρόπο στις θεμελιώδεις έννοιες και στα βασικά αποτελέσματα της Γραμμικής Άλγεβρας και των εφαρμογών της με συνεχή παράθεση ενδεικτικών παραδειγμάτων, τα οποία διευκρινίζουν τις έννοιες και επεξηγούν τη θεωρία. Η ανάπτυξη της ύλης έχει διαμορφωθεί έτσι ώστε να ακολουθεί, στο πλαίσιο του εφικτού, την εποπτεία, την ιστορική εξέλιξη των εννοιών, καθώς και τη βέλτιστη παιδαγωγική προσέγγιση. Οι σημειώσεις αποτελούνται από τα ακόλουθα μέρη, τα οποία αντιστοιχούν σε διακεκριμένες θεματικές ενότητες: 1. Πίνακες, Ορίζουσες και Γραμμικά Συστήματα. 2. Διανυσματικοί Χώροι. 3. Γραμμικές Απεικονίσεις. 4. Δομή Ενδομορφισμών και Κανονικές Μορφές Πινάκων. 5. Ευκλείδειοι Χώροι, Ισομετρίες και Αυτοπροσαρτημένοι Ενδομορφισμοί. 6. Ερμητιανοί Χώροι, Μοναδιαίοι και Κανονικοί Ενδομορφισμοί. 7. Διγραμμικές Μορφές και Συμπλεκτικοί Χώροι. Καθεμία από τις παραπάνω θεματικές ενότητες αποτελείται με τη σειρά της από έναν αριθμό κεφαλαίων, ο συνολικός αριθμός των οποίων είναι 26. Κάθε κεφάλαιο περιέχει πληθώρα παραδειγμάτων και σειρά επιλεγμένων ασκήσεων. Το συνολικό πλήθος των ασκήσεων υπερβαίνει τις 1300 και ικανός αριθμός από τις ασκήσεις αυτές συνοδεύεται από υποδείξεις, απαντήσεις και σκιαγραφήσεις λύσεων ή πλήρεις λύσεις.

The main purpose of the book is, on the one hand, to present in a detailed and accessible way the elements of an introductory Linear Algebra course, and on the other hand to introduce the reader to more advanced topics, techniques and methods of Linear Algebra. The material developed in the text far exceeds the usual material taught in two or three typical Linear Algebra courses in a Department of Mathematics of a Greek University. In this direction an effort has been made so that the prerequisite knowledge is limited to the minimum possible, and the reader to be introduced in an accessible way to the fundamental concepts and the basic results of Linear Algebra and its applications, always supported by a presentation of illuminating examples that clarify the concepts and explain the theory. The development of the material has been designed to follow, as feasible as possible, the intuition, the historical development of the concepts, as well as the optimal pedagogical approach. The notes consist of the following parts, which correspond to distinct thematic units: 1. Matrices, Determinants and Systems of Linear Equations. 2. Vector Spaces. 3. Linear Mappings. 4. Structure of Endomorphisms and Canonical Forms of Matrices. 5. Euclidean Spaces, Isometries and Self-adjoint Endomorphisms. 6. Hermitian Spaces, Unitary and Normal Endomorphisms. 7. Bilinear Forms and Symplectic Spaces. Each of the above thematic units consists in turn of a number of chapters, the total number of which is 26. Each chapter contains a multitude of examples and a series of selected exercises. The total number of exercises exceeds 1300 and a fair number of them are accompanied by hints, answers, and solution sketches or complete solutions.