Απειροστικός Λογισμός

Abstract

Στο παρόν σύγγραμμα παρουσιάζονται τα ακόλουθα θέματα: βασικές ιδιότητες πραγματικών αριθμών, συναρτήσεις μίας πραγματικής μεταβλητής με πραγματικές τιμές, όριο ακολουθίας πραγματικών αριθμών και ιδιότητες, όριο συνάρτησης και ιδιότητες, συνέχεια συνάρτησης και τα βασικά θεωρήματα για συνεχείς συναρτήσεις, παράγωγος συνάρτησης και ιδιότητες, μελέτη συνάρτησης (μονοτονία, κυρτότητα) με χρήση παραγώγων, ολοκλήρωμα συνάρτησης και ιδιότητες, συσχέτιση παραγώγισης και ολοκλήρωσης (Θεμελιώδες Θεώρημα του Απειροστικού Λογισμού), τεχνικές ολοκλήρωσης, εφαρμογές ολοκληρωμάτων (εμβαδά, έργο δύναμης, μήκος καμπύλης), σειρές αριθμών και κριτήρια σύγκλισής τους, δυναμοσειρές και σειρές Taylor, απλές διαφορικές εξισώσεις πρώτης και δεύτερης τάξης και, τέλος, κάποια θεωρητικά ζητήματα αυστηρής θεμελίωσης των πραγματικών αριθμών (ιδιότητα supremum) και αυστηρές αποδείξεις κάποιων βασικών θεωρημάτων του συγγράμματος.

The following topics are presented in this book: basic properties of real numbers, functions of one real variable with real values, limit of a sequence of real numbers and properties, limit of a function and properties, continuity of a function and the basic theorems for continuous functions, derivative of a function and properties, study of a function (monotonicity, convexity) using derivatives, integral of a function and properties, relation between derivation and integration (Fundamental Theorem of Infinitesimal Calculus), techniques of integration, applications of integrals (areas, work of a force, length of a curve), series of numbers and their convergence criteria, power series and Taylor series, simple differential equations of first and second order and, finally, some theoretical matters of the mathematical foundation of the real numbers (supremum property) and strict proofs of some of the basic theorems of the text.