Elementary Differential Geometry

Abstract

Το βιβλίο απευθύνεται σε προπτυχιακούς φοιτητές και αναφέρεται στην κλασική διαφορική γεωμετρία καμπυλών και επιφανειών, δηλαδή στη διαφορική γεωμετρία «κατά Gauss». Είναι γραμμένο με τρόπο ώστε, με κατάλληλη έμφαση σε διάφορα θέματα από τον διδάσκοντα, να μπορεί να καλυφθεί σε ένα εξαμηνιαίο μάθημα. Πολύ συνοπτικά το περιεχόμενο του βιβλίου είναι το εξής: Περιγράφονται η καμπυλότητα και η στρέψη καμπυλών και, στη συνέχεια, παρουσιάζεται η θεωρία των κανονικών επιφανειών στον Ευκλείδειο χώρο R^3. Χρησιμοποιείται, επίσης, με ήπιο τρόπο η ορολογία των χαρτών, ώστε να προετοιμάζεται ο αναγνώστης για τη σύγχρονη διαφορική γεωμετρία. Στη συνέχεια, ορίζεται ο τελεστής σχήματος, η καμπυλότητα Gauss και η μέση καμπυλότητα μιας κανονικής επιφάνειας. Η προσέγγιση χρησιμοποιεί βασική γραμμική άλγεβρα. Έπειτα, συζητείται το λεπτό θέμα της συναλλοίωτης παραγώγου και της παραλληλίας, καθώς και των γεωδαισιακών καμπυλών. Τέλος, γίνεται μια σύντομη παρουσίαση στις επιφάνειες ελάχιστης έκτασης μέσω λογισμού των μεταβολών, καθώς και παρουσίαση της σύνδεσης γεωμετρίας και τοπολογίας μέσω του θεωρήματος Gauss-Bonnet.

The book is addressed to undergraduate students and refers to classical differential geometry of curves and surfaces, i.e., differential geometry "according to Gauss." It is written in such a way that it will be possible to cover a long - term semester course, as long as the instructor emphasizes appropriately various topics. Very briefly, the content of the book is as follows: The curvature and torsion of curves are described, followed by a presentation of the theory of normal surfaces in Euclidean space R^3. Also, the terminology of maps is used in a gentle manner to prepare the reader for modern differential geometry. After that, the shape operator, Gaussian curvature, and the mean curvature of a normal surface are defined. The approach uses basic linear algebra. Moreover, the subtle issue of the commutative derivative and parallelism, as well as geodesic curves, are discussed. Finally, there is a brief presentation on minimal surfaces through change of variables, as well as a presentation of the connection between geometry and topology through the Gauss-Bonnet theorem.