Σημειώσεις στην Περιγραφική Θεωρία Συνόλων

Abstract

Στο πρώτο κεφάλαιο παρουσιάζονται συνοπτικά οι προαπαιτούμενες έννοιες που αφορούν το μεγαλύτερο μέρος του κειμένου. Στο δεύτερο κεφάλαιο αναπτύσσεται η θεωρία των Πολωνικών χώρων. Δίνεται έμφαση στους θεμελιώδεις χώρους Baire και Cantor, καθώς και στην έννοια του δένδρου. Μελετώνται το Θεώρημα Cantor-Bendixson, μερικές καθολικές ιδιότητες που αναφέρονται σε Πολωνικούς χώρους, οι μηδενοδιάστατοι Πολωνικοί χώροι, και αποδεικνύονται τοπολογικοί χαρακτηρισμοί των χώρων του Baire και Cantor. Το τρίτο κεφάλαιο ασχολείται με τη γενική θεωρία των κλάσεων συνόλων σε Πολωνικούς χώρους, καθώς και με τους θεμελιώδεις τελεστές από τη λογική και τη θεωρία συνόλων. Εισάγονται και μελετώνται δύο από τις πιο θεμελιώδεις κατηγορίες κλάσεων της περιοχής: οι κλάσεις των Borel συνόλων πεπερασμένης τάξης και οι προβολικές κλάσεις. Μελετώνται και άλλες συναφείς έννοιες, όπως η μετρησιμότητα συνάρτησης και η πληρότητα συνόλου ως προς κλάση, η ενοποίηση, η αναγωγή και ο διαχωρισμός. Το τέταρτο κεφάλαιο ασχολείται με τα Borel σύνολα και τις Borel-μετρήσιμες συναρτήσεις. Αποδεικνύεται το Θεώρημα του Borel-ισομορφισμού, μελετάται η σχέση των Borel συνόλων με τις ένα-προς-ένα συναρτήσεις και αποδεικνύεται η γνωστή αναπαράσταση των Borel συνόλων ως οι ένα-προς-ένα συνεχείς εικόνες κλειστών υποσυνόλων του χώρου του Baire. Τέλος, εισάγονται οι κλάσεις των Borel συνόλων υπερπεπερασμένης τάξης και αποδεικνύονται οι βασικές τους ιδιότητες. Στο πέμπτο κεφάλαιο γίνεται βαθύτερη μελέτη της κλάσης των αναλυτικών συνόλων. Αποδεικνύονται μερικά από τα θεμελιώδη αποτελέσματα αυτής της κλάσης: το Θεώρημα Διαχωρισμού του Lusin, το Θεώρημα του Suslin, το Θεώρημα Τέλειου Συνόλου, το Θεώρημα Kunen-Martin, καθώς και ότι τα αναλυτικά σύνολα είναι μετρήσιμα ως προς την πλήρωση οποιουδήποτε 𝜎-πεπερασμένου μέτρου. Το έκτο κεφάλαιο ασχολείται με τη βαθύτερη μελέτη της κλάσης των συναναλυτικών συνόλων, καθώς και με τις εφαρμογές αυτών στην ενοποίηση των Borel συνόλων. Σε αυτό το σημείο παρουσιάζεται μια καινούργια προσέγγιση με τεχνικές που προέρχονται από την κατασκευαστική περιγραφική θεωρία συνόλων. Στο έβδομο κεφάλαιο γίνεται παρουσίαση στοιχείων της θεωρίας παιγνίων και δίνονται εφαρμογές στην περιγραφική θεωρία συνόλων. Το όγδοο και τελευταίο κεφάλαιο αφορά μερικές σύγχρονες εφαρμογές από τη θεωρία γραφημάτων. Οι σημειώσεις περιέχουν μια μεγάλη συλλογή από ασκήσεις μεταβαλλόμενης δυσκολίας. Στο παράρτημα που ακολουθεί δίνονται λύσεις και υποδείξεις.

In the first chapter we briefly present the concepts, which are needed throughout the book. In the second chapter we present the theory of Polish spaces. Emphasis is put on the fundamental spaces of Baire and Cantor and on the concept of a tree. We study the Cantor-Bendixson Theorem, some universal properties of Polish spaces and the zero-dimensional Polish spaces. Further we present some topological characterizations of the Baire space and the Cantor space. The third chapter is concerned with the general theory of pointclasses in Polish spaces as well as the fundamental operators from logic and set theory. We introduce two of the most fundamental types of pointclasses: the Borel pointclasses of finite order and the projective pointclasses. Further related concepts are studied, such as the completeness with respect to a pointclass, the uniformization and the separation of sets. The fourth chapter is concerned with Borel sets and Borel-measurable functions. We study the Borel-isomorphism Theorem, the relation between sets and injective functions, and we prove the well-known representation of Borel sets as the continuous injective images of closed subsets of the Baire space. Finally, we present the Borel pointclasses of transfinite order and we prove their fundamental properties. In the fifth chapter we study deeper the pointclass of analytic sets. We give the proofs of some fundamental results about this pointclass: the Lusin Separation Theorem, the Susin Theorem, the Perfect Set Theorem, the Kunen-Martin Theorem and the theorem on the measurability of analytic sets. The sixth chapter is concerned with the deeper study of the pointclass of coanalytic sets and their applications in the uniformization of Borel sets. We present a new approach to the later with techniques from effective descriptive set theory. In the seventh chapter we present some elements from game theory and its applications in descriptive set theory. The eighth chapter is concerned with some applications from graph theory. The notes contain a large collection of exercises of varying difficulty. Hints and solutions are given in the appendix.