Στοχαστικά Μοντέλα στην Επιχειρησιακή Έρευνα

Abstract

Το παρόν σύγγραμμα αποτελεί μια εισαγωγή στη Στοχαστική Επιχειρησιακή Έρευνα, μια περιοχή που ασχολείται με ανάπτυξη μαθηματικών μεθόδων για την αποτίμηση απόδοσης και τη βελτιστοποίηση συστημάτων και διαδικασιών που υπόκεινται σε αβεβαιότητα. Οι στόχοι του βιβλίου είναι α) να δώσει στον αναγνώστη τη δυνατότητα να μάθει πώς θα εφαρμόζει τα βασικά μεθοδολογικά εργαλεία της Στοχαστικής Επιχειρησιακής Έρευνας κατά τρόπο ακριβή και β) να του παρέχει τη δυνατότητα να μελετήσει έναν μεγάλο αριθμό εφαρμογών, χωρίς η έκταση του βιβλίου να γίνει απαγορευτική. Για τον σκοπό αυτό, το θεωρητικό πλαίσιο παρουσιάζεται κατά τρόπο ακριβή, όσον αφορά τόσο τις προϋποθέσεις όσο και τα αποτελέσματα, με απλούστερες αποδείξεις ή αιτιολογήσεις των αποτελεσμάτων χωρίς πολλές τεχνικές λεπτομέρειες. Από μαθηματική σκοπιά το βιβλίο εστιάζεται σε δύο βασικά μεθοδολογικά εργαλεία: στις Στοχαστικές Διαδικασίες με Δομή Κόστους και στον Στοχαστικό Δυναμικό Προγραμματισμό. Στην πρώτη κατηγορία μελετώνται τα βασικά μοντέλα ανανεωτικών διαδικασιών και Μαρκοβιανών διαδικασιών με κόστη. Στη συνέχεια, το πλαίσιο της Μαρκοβιανής διαδικασίας με κόστη επεκτείνεται εισάγοντας τη δυνατότητα αποφάσεων, οδηγώντας στο πλαίσιο του Στοχαστικού Δυναμικού Προγραμματισμού και των Μαρκοβιανών διαδικασιών αποφάσεων, οι οποίες μελετώνται κάτω από διάφορα κριτήρια βελτιστοποίησης. Στο πλαίσιο των εφαρμογών γίνεται μια εισαγωγή σε δύο βασικές περιοχές: στη Θεωρία Ουρών Αναμονής και στη Θεωρία Διαχείρισης Αποθεμάτων. Στις περιοχές αυτές μελετώνται προβλήματα που αξιοποιούν τις μεθόδους οι οποίες αναπτύχθηκαν στο πρώτο μέρος. Γίνεται μια σύντομη εισαγωγή στη Θεωρία Ουρών Αναμονής και μια αναφορά σε όλους τους τύπους αυτών των προβλημάτων, με έμφαση στη μοντελοποίηση και στην αποτίμηση της απόδοσής τους. Στη συνέχεια, παρουσιάζονται προβλήματα βέλτιστου σχεδιασμού και δυναμικού ελέγχου συστημάτων εξυπηρέτησης. Τέλος, έπειτα από μια συνοπτική παρουσίαση των βασικών εννοιών, παρουσιάζονται μερικά βασικά προβλήματα της Θεωρίας Διαχείρισης Αποθεμάτων, με έμφαση σε στοχαστικά μοντέλα που εμπεριέχουν αβεβαιότητα στη ζήτηση. Στο πρώτο μέρος του βιβλίου γίνεται μια επισκόπηση των βασικών μοντέλων στοχαστικών διαδικασιών και συγκεκριμένα Διαδικασιών Poisson, Ανανεωτικών και Αναγεννητικών Διαδικασιών και Διαδικασιών Markov διακριτού και συνεχούς χρόνου. Η ανάπτυξη εστιάζεται στην περίπτωση που αυτές οι διαδικασίες εφοδιάζονται με μια δομή κόστους και πρέπει να περιγραφεί η συμπεριφορά των αντίστοιχων συστημάτων ως προς διάφορα μέτρα απόδοσης όπως το μέσο κόστος ανά μονάδα χρόνου, η παρούσα αξία του συνολικού κόστος σε μεγάλο χρονικό ορίζοντα κλπ. Στο δεύτερο μέρος αρχικά γίνεται μια εισαγωγή στη βασική μεθοδολογία του Δυναμικού Προγραμματισμού με βάση την αρχή του Bellman. Στη συνέχεια η ανάλυση εστιάζεται στο βασικό μοντέλο του Στοχαστικού Δυναμικού Προγραμματισμού που είναι οι Μαρκοβιανές Διαδικασίες Αποφάσεων. Παρουσιάζεται η βασική θεωρία για προβλήματα εύρεσης βέλτιστων πολιτικών ελέγχου με κριτήριο την ελαχιστοποίηση του συνολικού αποπληθωρισμένου κόστους πεπερασμένου και άπειρου ορίζοντα και του μέσου ρυθμού κόστους. Στο τρίτο μέρος του βιβλίου αναπτύσσονται εφαρμογές των παραπάνω μεθοδολογικών εργαλείων σε δύο σημαντικές περιοχές της Επιχειρησιακής Έρευνας, τη Θεωρία Ουρών Αναμονής και τη Διαχείριση Αποθεμάτων και παρουσιάζονται μοντέλα για την αποτίμηση της απόδοσης και τον βέλτιστο έλεγχο συστημάτων παραγωγής προϊόντων και υπηρεσιών.

In this book we present an introduction to Stochastic Operations Research, a discipline focused on creating mathematical techniques for assessing performance and optimizing systems and processes that operate under uncertainty. Our primary aim is to provide the reader with a thorough understanding of how to apply the fundamental methods of Stochastic Operations Research with precision, as well as to analyze numerous applications, without overwhelming complexity. To achieve this objective, we present the theoretical framework in an exact and concise manner, including assumptions and mathematical results, along with simplified proofs and explanations, without excessive technical details. From a mathematical perspective, the book focuses on two essential methodological tools: Stochastic Processes with Cost Structure and Stochastic Dynamic Programming. Within the first category we analyze some fundamental models, such as renewal processes and Markovian processes with associated costs. We then extend this framework by introducing decision-making aspects, resulting in the exploration of Stochastic Dynamic Programming and Markov Decision Processes under different optimization criteria. In terms of practical applications, we present an introduction to two core areas: Queueing Theory and Inventory Management. We formulate and analyze problems in these areas utilizing the methods developed in first part. We include an introduction to Queueing Theory, with references to various problem types and an emphasis on modeling and performance assessment. We also consider problems related to the optimal design and dynamic control of service systems. Lastly, we present an introduction to Inventory Management Theory, covering essential concepts and highlighting stochastic models dealing with demand uncertainty.