Αριθμητική επίλυση διαφορικών εξισώσεων

Abstract

Το παρόν σύγγραμμα απευθύνεται σε προπτυχιακούς φοιτητές μαθηματικών τμημάτων, καθώς και άλλων τμημάτων, οι οποίοι έχουν διδαχτεί ένα εισαγωγικό μάθημα στην αριθμητική ανάλυση. Στο Κεφάλαιο 1 δίνεται μια σύντομη εισαγωγή στις αριθμητικές μεθόδους. Στο Κεφάλαιο 2 γίνεται ανασκόπηση γνώσεων που θα χρειαστούν στα επόμενα κεφάλαια. Τα Κεφάλαια 3 και 4 αφορούν τις μεθόδους Runge-Kutta. Συγκεκριμένα, στο Κεφάλαιο 3 γίνεται εισαγωγή στις άμεσες μεθόδους έως και τέταρτης τάξης, ενώ στο Κεφάλαιο 4 παρουσιάζεται η θεωρία των μεθόδων όπως αναπτύχθηκε από τον Butcher. Στο Κεφάλαιο 5 παρουσιάζονται οι διαμερισμένες μέθοδοι Runge-Kutta και οι μέθοδοι Runge-Kutta με χρήση της δεύτερης παραγώγου. Στο Κεφάλαιο 6 παρουσιάζονται οι πολυβηματικές μέθοδοι για διαφορικές εξισώσεις πρώτης τάξης: συγκεκριμένα περιγράφονται οι μέθοδοι Adams-Bashforth και Adams-Moulton. Τα Κεφάλαια 7 και 8 είναι αφιερωμένα σε μεθόδους επίλυσης διαφορικών εξισώσεων δεύτερης τάξης, στις οποίες δεν εμφανίζεται η πρώτη παράγωγος. Στο Κεφάλαιο 7 παρουσιάζονται οι μέθοδοι απλού βήματος Runge-Kutta-Nyström και στο Κεφάλαιο 8 πολυβηματικές μέθοδοι. Γνωστά προβλήματα, τα οποία χρησιμοποιούνται από τους ερευνητές ως προβλήματα δοκιμής της απόδοσης των αριθμητικών μεθόδων, παρουσιάζονται στο Κεφάλαιο 9. Τα Κεφάλαια 10, 11 και 12 εισάγουν τους φοιτητές σε τρέχοντα θέματα της έρευνας. Στο Κεφάλαιο 10 γίνεται ανασκόπηση των συμπλεκτικών μεθόδων. Τέλος, στα Κεφάλαια 11 και 12 παρουσιάζονται μέθοδοι με συγκεκριμένες ιδιότητες.

This book deals with the numerical integration of Ordinary Differential Equations (ODEs) and it can be used by science and engineering students who have attended an introductory course on numerical analysis. Chapter 1 is a short introduction to numerical methods for ODEs. In Chapter 2 we review background knowledge that will be used in the next chapters. Chapters 3 and 4 concern Runge-Kutta (RK) methods. In particular, an introduction to explicit methods up to the fourth order is given in Chapter 3, and the theory of RK methods as developed by Butcher is given in Chapter 4. Chapter 5 is devoted to Partitioned RK methods and Two-Derivative RK methods. Linear multistep methods (Adams-Bashforth, Adams-Moulton) are reviewed in Chapter 6. The next two chapters deal with second-order ODEs where the first derivative does not appear. Runge-Kutta-Nyström methods are reviewed in Chapter 7 and multistep methods in Chapter 8. Several test problems are presented in Chapter 9. The last 3 chapters (10, 11, 12) introduce the students to current research in the field such as symplectic methods and methods with special properties.