Ειδικά Θέματα Μη Γραμμικής Δυναμικής

Abstract

Το σύγγραμμα περιλαμβάνει ειδικά θέματα μη γραμμικών δυναμικών συστημάτων σε συνεχή και διακριτό χρόνο αλλά και εφαρμογές. Στόχος του παρόντος βιβλίου είναι ο εμπλουτισμός της ελληνόγλωσσης βιβλιογραφίας, στον κλάδο των δυναμικών συστημάτων, με πιο εξειδικευμένα θέματα. Το σύγγραμμα είναι χωρισμένο σε πέντε ενότητες. Η πρώτη ενότητα περιλαμβάνει μια αναλυτική εισαγωγή στη θεωρία των δυναμικών συστημάτων που επιτρέπει ακόμα και σε έναν μη ειδικό αναγνώστη να προχωρήσει στη μελέτη και στην κατανόηση των θεμάτων που πραγματεύεται το βιβλίο. Η δεύτερη ενότητα, με τίτλο «Χαοτικοί Ελκυστές», πραγματεύεται τους ελκυστές, κανονικούς και χαοτικούς, τόσο αυτούς που σχετίζονται με σημεία ισορροπίας, όσο και εκείνους που δεν σχετίζονται με κάποιο ασταθές σημείο ισορροπίας και ονομάζονται κρυφοί. Επιπρόσθετα, η ενότητα περιλαμβάνει τα βασικά εργαλεία εντοπισμού της χαοτικής συμπεριφοράς, όπως τη θεωρία Melnikov, αλλά και διάφορους αριθμητικούς δείκτες, όπως τους εκθέτες Lyapunov, τη μέθοδο SALI και τη μέθοδο GALI. Η τρίτη ενότητα, με τίτλο «Χαμιλτονιανά Συστήματα», πραγματεύεται τα Χαμιλτονιανά συστήματα, ολοκληρώσιμα και μη. Επίσης, παρουσιάζονται διάφορα θεωρήματα, όπως το θεώρημα KAM, το θεώρημα Poincare Birkhoff, αλλά και διάφορα κριτήρια και θεωρήματα μη ολοκληρωσιμότητας. Η τέταρτη ενότητα, με τίτλο «Διακριτά συστήματα- Απεικονίσεις», περιλαμβάνει τα διακριτά συστήματα (απεικονίσεις) σε μία και περισσότερες διαστάσεις, όπως και τη συμβολική δυναμική. Στην ενότητα αυτή, αναπτύσσονται οι βασικές έννοιες αλλά και διάφορα θεωρήματα, με τα οποία γίνεται η μελέτη των διακριτών συστημάτων. Επιπλέον, αναπτύσσεται η έννοια των μορφοκλασματικών συνόλων (fractal), καθώς και τα χαρακτηριστικά σύνολα Julia και Mandelbrot. Η τελευταία ενότητα, η πέμπτη, με τίτλο «Εφαρμογές δυναμικών συστημάτων», περιλαμβάνει κεφάλαια με εφαρμογές. Συγκεκριμένα, παρουσιάζονται σύγχρονα θέματα εφαρμογής των δυναμικών συστημάτων, όπως η Στοχευμένη Μεταφορά Ενέργειας σε συστήματα συζευγμένων γραμμικών και μη γραμμικών ταλαντωτών, η επιδημιολογία και οι επαφές Josephson.

The book includes special topics of nonlinear dynamical systems in continuous and discrete time and applications. Its aim is to enrich the Greek literature in dynamical systems with more specialized topics. The book is divided into five sections. The first section includes a detailed introduction to the theory of dynamical systems that allows even a non-specialist reader to proceed with the study and understand the topics covered in the book. The second section deals with regular and chaotic attractors, both those associated with equilibrium points and those not associated with any unstable equilibrium point and called hidden. It also includes the essential tools for detecting chaotic behaviour, such as the Melnikov theory and various numerical indices, such as Lyapunov exponents, the SALI method and the GALI method. The third section deals with Hamiltonian systems, integrable and non-integrable. Various theorems, such as the KAM Theorem and the Poincare Birkhoff theorem, and different non-integrability criteria and theorems are also presented. The fourth section includes discrete systems (maps) in one or more dimensions, as well as symbolic dynamics. In this section, the basic concepts are developed, various theorems with which the discrete systems are studied, and the idea of fractal sets and the characteristic Julia and Mandelbrot set. The last fifth section includes chapters with applications such as Targeted Energy Transfer in coupled linear and nonlinear oscillator systems, epidemiology and Josephson Junctions.