Συστήματα διαφορικών εξισώσεων πρώτης τάξης

Abstract

Πολλά σημαντικά προβλήματα του πραγματικού κόσμου, τα οποία εντάσσονται κυρίως στις φυσικές, τεχνολογικές και βιολογικές επιστήμες, όπου διάφορες μεταβλητές εξαρτώνται από την ίδια ανεξάρτητη μεταβλητή, διατυπώνονται με μαθηματικούς όρους, μοντελοποιούνται και προσομοιώνονται με τη βοήθεια συστημάτων διαφορικών εξισώσεων. Μεταξύ των προβλημάτων αυτών συγκαταλέγονται κινήσεις στο βαρυτικό πεδίο, συζευγμένα ηλεκτρικά κυκλώματα και μελέτη πληθυσμιακών μοντέλων με παρουσία θηραμάτων και κυνηγών. Οι μοντελοποιήσεις των προβλημάτων απετέλεσαν κίνητρα για τη θεωρητική και εφαρμοσμένη διερεύνηση των συστημάτων διαφορικών εξισώσεων. Στο κεφάλαιο αυτό ορίζονται αρχικά οι βασικές εισαγωγικές έννοιες, καθορίζεται η σχετική ορολογία και αναλύονται ορισμένες μοντελοποιήσεις προβλημάτων. Στη συνέχεια καταχωρείται μία συνοπτική παρουσίαση της γενικής θεωρίας και των τεχνικών επίλυσης γραμμικών συστημάτων διαφορικών εξισώσεων πρώτης τάξης.

Many important real-world problems, primarily in physical, technological, and biological sciences, where various variables depend on the same independent variable, are formulated in mathematical terms, modeled, and simulated using systems of differential equations. Among these problems are movements in gravitational fields, coupled electrical circuits, and the study of population models involving predators and prey. The modeling of these problems has been a driving force for the theoretical and applied investigation of systems of differential equations. This chapter begins by defining the basic introductory concepts, establishing relevant terminology, and analyzing certain problem modeling approaches. Subsequently, a concise presentation of the general theory and solution techniques for linear systems of first-order differential equations is provided.