Μετασχηματισμός Fourier

Abstract

Ο συνεχής μετασχηματισμός Fourier είναι μία γενίκευση της σειράς Fourier. Προσφέρει αναπαραστάσεις συναρτήσεων, οι οποίες ορίζονται σε άπειρα διαστήματα και δεν είναι κατά ανάγκη περιοδικές, ως υπερθέσεις ημιτονοειδών συναρτήσεων. Είναι ένα χρηστικό μαθηματικό εργαλείο για τη μελέτη πολυάριθμων εφαρμογών σε τομείς όπως οι επικοινωνίες, η επεξεργασία σήματος, και τα κυματικά φαινόμενα. Όπως ο μετασχηματισμός Laplace και ο μετασχηματισμός Fourier είναι ένα μέλος μιας κλάσεως αναπαραστάσεων οι οποίες είναι γνωστές ως ολοκληρωτικοί μετασχηματισμοί. Υπό αυτή την έννοια χρησιμοποιείται στην επίλυση διαφορικών εξισώσεων. Εξάλλου, στη Θεωρία Πληροφορίας επιτρέπει την εξέταση μιας κυματομορφής τόσο στο πεδίο του χρόνου όσο και της συχνότητας. Στο κεφάλαιο αυτό ορίζεται η έννοια του μετασχηματισμού Fourier και διατυπώνονται οι βασικές ιδιότητές της. Υπολογίζονται οι μετασχηματισμοί Fourier χαρακτηριστικών σημαντικών συναρτήσεων και διατυπώνονται και επεξεργάζονται ορισμένες βασικές εφαρμογές.

The continuous Fourier transform is a generalization of the Fourier series. It offers representations of functions, which are defined on infinite intervals and are not necessarily periodic, as superpositions of sinusoidal functions. It is a useful mathematical tool for studying numerous applications in areas such as communications, signal processing, and wave phenomena. Like the Laplace transform and the Fourier transform it is a member of a class of representations known as integral transforms. In this sense it is used in solving differential equations. Moreover, in Information Theory it allows the examination of a waveform in both the time and frequency domains. In this chapter the concept of the Fourier transform is defined and its basic properties are formulated. Characteristic Fourier transforms of important functions are calculated and some basic applications are formulated and worked out.