Σειρές Fourier

Abstract

Οι σειρές Fourier είναι ένα από τα πιο χρηστικά εργαλεία της Μαθηματικής Ανάλυσης τα οποία παίζουν σημαντικό ρόλο σε όλα σχεδόν τα πεδία των φυσικών και τεχνολογικών επιστημών. Οι σειρές Fourier χρησιμοποιούνται για την αναπαράσταση περιοδικών συναρτήσεων ή περιοδικών σημάτων με τη βοήθεια απείρων αθροισμάτων (σειρών) των συναρτήσεων ημιτόνων και συνημιτόνων ή των μιγαδικών εκθετικών. Οι σειρές Fourier αρχικά διατυπώθηκαν για τη λύση προβλημάτων συνοριακών τιμών μερικών διαφορικών εξισώσεων αλλά η χρησιμότητά του επεκτάθηκε στην ανάλυση όλων των κυματομορφών που εμφανίζονται από τη θεωρία σημάτων μέχρι την κβαντική φυσική. Αρχικά, δίνονται ο ορισμός και οι βασικές έννοιες των πραγματικών και μιγαδικών σειρών Fourier. Εξετάζεται η κατηγορία των συναρτήσεων οι οποίες αναπτύσσονται σε σειρά Fourier. Τέλος, παρουσιάζονται οι τύποι παραγώγισης και ολοκλήρωσης σειρών Fourier. Το κεφάλαιο κλείνει με αντιπροσωπευτικές εφαρμογές των σειρών Fourier στις εφαρμοσμένες επιστήμες.

Fourier series are one of the most useful tools of Mathematical Analysis which play an important role in almost all fields of physical and technological sciences. Fourier series are used to represent periodic functions or periodic signals by means of infinite sums (series) of sine and cosine functions or complex exponentials. Fourier series were originally formulated for the solution of boundary value problems of partial differential equations but its utility has extended to the analysis of all waveforms appearing in signal theory to quantum physics. First, the definition and basic concepts of real and complex Fourier series are given. The class of functions which develop in Fourier series is considered. Finally, the formulas for derivation and integration of Fourier series are presented. The chapter closes with representative applications of Fourier series in applied sciences.