Ολοκληρώσιμες μιγαδικές συναρτήσεις

Abstract

Στο κεφάλαιο αυτό ορίζεται αρχικά η έννοια του μιγαδικού επικαμπυλίου ολοκληρώματος και καταγράφονται οι βασικές ιδιότητές του. Επίσης, καταγράφονται και τρόποι υπολογισμού βασικών μιγαδικών ολοκληρωμάτων. Εξετάζονται οι ιδιότητες των συναρτήσεων και των πεδίων ορισμού τους οι οποίες εξασφαλίζουν την ανεξαρτησία του ολοκληρώματος από την καμπύλη ολοκλήρωσης. Στην κατηγορία αυτή εντάσσονται οι συνεχείς συναρτήσεις, ορισμένες σε πεδίο, των οποίων υπάρχει αρχική, καθώς επίσης και οι ολόμορφες συναρτήσεις ορισμένες σε απλά συνεκτικό πεδίο. Για ολόμορφες συναρτήσεις ορισμένες σε απλά συνεκτικό πεδίο διατυπώνεται το κλασικό θεώρημα Cauchy-Goursat και εξετάζονται ορισμένες σημαντικές συνέπειες του (ολοκληρωτικοί τύποι Cauchy) οι οποίες επίσης χρησιμοποιούνται και για τον υπολογισμό μιγαδικών ολοκληρωμάτων.

In this chapter, the concept of the complex epicurvical integral is initially defined and its basic properties are recorded. Also, methods of calculating basic complex integrals are recorded. The properties of the functions and their fields of definition which ensure the independence of the integral from the integration curve are examined. This category includes the continuous functions, defined in a field, of which there is an origin, as well as the uniform functions defined in a simply coherent field. For uniform functions defined in a simply coherent field, the classical Cauchy-Goursat theorem is formulated and some important consequences of it are examined (Cauchy integral formulas) which are also used for the calculation of complex integrals.