Μετασχηματισμός Laplace με εφαρμογές στις διαφορικές εξισώσεις

Abstract

Ο μετασχηματισμός Laplace προσφέρει μία μέθοδο για τη λύση γραμμικών διαφορικών εξισώσεων οι οποίες συχνά χρησιμοποιούνται στις θετικές επιστήμες και στις επιστήμες μηχανικών. Ο σκοπός του κεφαλαίου είναι η εισαγωγή του αναγνώστη σε κάποιες από τις βασικές ιδέες και εφαρμογές. Ο μετασχηματισμός Laplace είναι ολοκληρωτικός μετασχηματισμός ο οποίος εισάγεται με τη βοήθεια κατάλληλου γενικευμένου ολοκληρώματος. Μετά από τον ορισμό του μετασχηματισμού διατυπώνονται οι βασικές ιδιότητές του και καθορίζεται ο αντίστροφός του και οι βασικές ιδιότητές του. Στη συνέχεια, με τη βοήθεια του μετασχηματισμού Laplace, διατυπώνονται στοιχειώδεις τεχνικές για την επίλυση γραμμικών διαφορικών εξισώσεων με σταθερούς συντελεστές και συστημάτων διαφορικών εξισώσεων. Τέλος, διατυπώνεται η βασική ιδιότητα για το μετασχηματισμό Laplace της συνέλιξης δύο συναρτήσεων, με τη βοήθεια της οποίας αναπτύσσονται τεχνικές επίλυσης ολοκληρωτικών και ολοκληροδιαφορικών εξισώσεων.

The Laplace Transform provides a method for solving linear differential equations, which are commonly used in the physical and engineering sciences. The purpose of this chapter is to introduce the reader to some of its basic ideas and applications. The Laplace transform is an integral transform introduced with the aid of a suitable generalized integral. After defining the transform, its basic properties are formulated, including its inverse and fundamental properties. Subsequently, using the Laplace transform, elementary techniques for solving linear differential equations with constant coefficients and systems of differential equations are outlined. Finally, the key property of the Laplace transform concerning the convolution of two functions is formulated, enabling techniques for solving integral and integro-differential equations.